73、自适应滤波器：复变量与最优滤波

自适应滤波器：复变量与最优滤波

1. 自适应滤波器基础与输入信号影响

在自适应滤波器中，输入信号的特性对滤波器性能有着重要影响。若输入存在二次谐波（$K_0 = 2$），需在方程（12.71）基础上添加两个方程，对应$\hat{H}(e^{2j\omega_0}) = H(e^{2j\omega_0})$，此时滤波器可识别高达四个系数的系统。

自适应滤波器主要依据误差$d(n) - \hat{y}(n)$进行调整。若真实回声路径$H(z)$与估计回声路径$\hat{H}(z)$之间的失配无法通过误差信号观测到，滤波器将无法收敛至$H(z)$。失配能否通过误差观测，取决于$H(z)$和输入信号。为正确估计$H(z)$，输入信号需激发足够多的频率，因此在系统识别中，白噪声是理想的输入信号，因其包含所有频率。

2. 复变量与多通道滤波

在通信和雷达等重要应用中，自适应滤波器常以复变量作为输入信号。下面将扩展相关结果以处理复信号。

2.1 一般复信号解决方案

当所有输入变量为复数时，误差$e(n) = d(n) - \hat{y}(n)$也为复数，即$e(n) = e_r(n) + je_i(n)$，其中$e_r(n), e_i(n) \in R$分别为$e(n)$的实部和虚部。此时需最小化$E{|e(n)|^2} = E{e_r^2(n)} + E{e_i^2(n)}$，即复信号$e(n)$的总功率。二次成本函数（12.46）需修改为：
$J(w) = E{|e(n)|^2} = E{e(n)e^ (n)} = E{e_r^2(n)} + E{e_i^2(n)}$
其中$e^