65、信号处理中框架的应用与分析

信号处理中框架的应用与分析

1. 框架系数擦除对图像重建的影响

框架系数擦除在图像重建中有着显著影响。以宇航员图像为例，将其分割成16×16的块，分别采用Gabor框架和离散余弦变换（DCT）进行编码。在编码后，随机将一定比例的系数置为零，然后进行图像重建。
- 当40%的系数被随机置为零时，对比Gabor框架和DCT变换下的图像重建效果。
- 当60%的系数被置为零时，再次对比两种变换下的重建效果。

通过图10.8可以直观地看到不同比例系数擦除后图像的重建情况。

2. 逆Gabor框架

Gabor系统在信号分析和合成方面具有强大的能力，关键在于找到能够实现信号重建的系数$c_{m,n}$，满足以下公式：
[x(t) = \sum_{m}\sum_{n}c_{m,n}E_{m b}T_{n a}g(t) = \sum_{m}\sum_{n}c_{m,n}e^{j m b}g(t - n a)]

可以使用逆框架元素${\tilde{g}(t)} {m,n}$来实现信号重建，此时有：
[x(t) = \sum {m}\sum_{n}\langle x(t), \tilde{g} {m,n}(t)\rangle E {m b}T_{n a}g(t)]

对于Gabor框架，逆框架需满足$\tilde{g} {m,n}(t) = E {m b}T_{n a}\tilde{g}(t)$，进而得到：
[x(t) = \sum_{m}\sum_{n}\langle x(t), E_{m b}T_{n a}\tilde{