53、小波：多尺度分析工具

小波：多尺度分析工具

1. 小波基础与多分辨率分析

在信号处理领域，小波是一种强大的多尺度分析工具。首先，有这样的正交关系：$W_i \perp W_j \quad \forall i \neq j$ 。通过替换离散参数小波 $\psi_{ij}(t)$（其中 $(i,j) \in Z^2$ 分别表示平移和尺度参数），可以得到正交小波系数：$C_{i}^{j}(x) = \langle x(t),\psi_{ij}(t) \rangle$ 。

尺度子空间和残差/细节子空间的正交互补性可用于合成更高分辨率的子空间，即 $V_i \oplus W_i = V_{i - 1}$ 。不断迭代这个性质，就能重建观测信号所在的原始空间，实际中通常取为 $V_0$ ，也就是观测信号的首次且最精细分辨率。

多分辨率分析（MRA）具有以下定性特征：
- 对于任意 $(j,k) \in Z^2$ ，$x(t) \in V_j \leftrightarrow x(t - 2^j k) \in V_j$ 。
- 对于任意 $j \in Z$ ，$V_{j + 1} \subset V_j$ 。
- 对于任意 $j \in Z$ ，$x(t) \in V_j \leftrightarrow x(\frac{t}{2}) \in V_{j + 1}$ 。
- $\lim_{j \to +\infty} V_j = \bigcap_{j = -\infty}^{\infty} V_j = {0}$ 。
- $\lim_{j \to -\infty} V_j = \bigcup_{j = -\infty}^{\infty} V_j = L^2(R)$ 。