24、信号采样与量化：原理、误差分析及优化策略

信号采样与量化：原理、误差分析及优化策略

1. 非线性存在时的频率响应失配校正

在信号处理中，补偿措施对非线性失真的影响是一个重要的研究点。为了说明这一点，我们以一个包含失真项 $0.0001x^2(n) + 0.0002x^3(n)$ 的 13 位双音输入为例。通过绘制未补偿系统和 $K = 3$ 时补偿系统的输出频谱，我们发现由交错引起的约 -40 dB 的两个大的无用杂散信号得到了抑制，而约 -90 至 -85 dB 的较小非线性失真杂散信号几乎不受补偿的影响。同时，我们可以通过应用适当的线性化技术来抑制非线性项。

2. 量化基础

在理想的线性系统中，所有信号值都用实数表示，并且所有计算都以无限精度进行。但在实际实现中，输入、输出和内部信号值只能使用有限精度。因此，我们通常采用定点算术来降低实现成本，特别是在超大规模集成（VLSI）实现中。这里，我们主要考虑常用的二进制补码格式。

使用二进制补码算术，在 $-X_m \leq x_Q \leq X_m(1 - Q)$ 范围内的量化数 $x_Q$ 由 B 位分数二进制数 $x_B$ 表示：
[
x_B = -x_0 + \sum_{i = 1}^{B - 1} 2^{-i}x_i
]
其中 $x_i$（$i = 0, 1, \cdots, B - 1$）为 0 或 1，且 $x_Q = X_mx_B$。$x_0$ 是符号位，非负数为 0，负数为 1。$X_m$ 是一个缩放常数，用于将 $-1 \leq x_B \leq 1 - Q$ 范围内的数映射到 $-X_m \leq x_Q \leq X_m(1 - Q)$ 范围内。例如，在 A/D 转换中，$X_m$ 可以看作是 A/