22、信号采样与量化：原理、误差及应用

信号采样与量化：原理、误差及应用

1. 信号采样基础

在信号处理中，采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的重要步骤。当工作数据速率高于必要水平时，可以使用抽取来降低数据速率，因为信号经过了过采样，所以在不丢失信息的情况下可以进行此操作，即对应的离散时间信号存在冗余。

1.1 欠采样导致的失真

实际中，信号并非严格带限，这就意味着对信号进行采样时往往会出现欠采样的情况，从而导致一定程度的混叠失真。为了确保重建信号与原始信号差异不大，采样频率必须足够高。

1.1.1 示例3：欠采样失真说明

设连续时间信号 $x_a(t) = e^{-a|t|}$，其中 $a > 0$。该信号的实傅里叶变换为 $X_a(j\Omega) = \frac{2a}{\Omega^2 + a^2}$，显然它不是带限的。

以采样频率 $f_s = 1/T$ 对 $x_a(t)$ 进行采样，得到离散时间信号 $x(n) = x_a(nT) = e^{-a|nT|} = (e^{-aT})^{|n|}$。其傅里叶变换为 $X(e^{j\Omega T}) = \frac{1 - e^{-2aT}}{1 - 2e^{-aT}\cos(\Omega T) + e^{-2aT}}$。

使用理想脉冲幅度调制（PAM）进行重建，其中 $P(j\Omega)$ 定义为：
[
P(j\Omega) =
\begin{cases}
T, & |\Omega| \leq \pi/T \
0, & |\Omega| > \pi/T
\end{cases} <