19、随机信号与随机过程相关知识解析

随机信号与随机过程相关知识解析

1. 随机序列的功率谱密度与互功率谱密度

• 功率谱密度 ：对于随机序列，有公式 (P_{xx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}S_{XX}(e^{j\theta})d\theta) ，经过代数运算可得 (S_{XX}(e^{j\theta}) = F[A[R_{XX}[n,n - k]]]) ，这直接将自相关与随机序列的功率谱密度联系起来。 (S_{XX}(e^{j\theta})) 是关于 (\theta) 的非负实函数，若 (X[n]) 为实序列， (S_{XX}(e^{j\theta})) 是关于 (\theta) 的偶函数。
• 互功率谱密度 ：随机序列 (X[n]) 和 (Y[n]) 的总体平均互功率 (P_{xy} = A[E[X[n]Y^ [n]]]) ，进一步可得 (P_{xy} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{E[X_N(e^{j\theta})Y_N^ (e^{j\theta})]}{2N + 1}d\theta) ，其中 (X_N(e^{j\theta})) 按之前定义， (Y_N(e^{j\theta}) = F[Y_N[n]]) ， (y_N[n] = \begin{cases}y[n], & -N\leq n\leq N \ 0, & \text{otherwise}\end{cases}) 。互功率谱密度 (S_{XY}(e^{j\theta}) = \lim_{N\rightarro