18、随机信号与随机过程的深入剖析

随机信号与随机过程的深入剖析

1. 遍历性相关概念

随机序列的遍历性是一个重要的概念。当一个具有时不变自相关的随机序列 $X[n]$ 的任意时刻自相关 $r_{xx}[k]$ 以概率 1 等于 $R_{XX}[k]$ 时，即 $\sigma_{R_{xx}[k]}^2 = 0$，则称该序列是自相关遍历的。对于两个具有时不变互相关的序列 $X[n]$ 和 $Y[n]$，当任意时刻互相关 $r_{xy}[k]$ 以概率 1 等于 $R_{XY}[k]$ 时，即 $\sigma_{R_{xy}[k]}^2 = 0$，则称它们是互相关遍历的。随机序列的相关遍历性条件涉及四阶矩。

一个既是均值遍历又是自相关遍历的过程（序列）被称为广义遍历过程（序列）。两个广义遍历过程（序列）如果还是互相关遍历的，则称它们是联合广义遍历的。当一个过程（序列）在每一个矩上都是遍历的，就称它是分布遍历的。

由随机常数实现构成的严平稳随机过程（序列）在任何意义上都不是遍历的。而对于宽平稳过程 $X(t)$（序列 $X[n]$），如果在任意不同时刻 $t_1$ 和 $t_2$（$n_1$ 和 $n_2$）统计不相关，即 $C_{XX}(t_1 - t_2) = \delta(t_1 - t_2)$（$C_{XX}[n_1 - n_2] = \delta[n_1 - n_2]$），则它是均值遍历的。

在实际情况中，通常只能获得一个随机过程（序列）的单个实现。如果已知该过程（序列）是遍历的，就可以利用完整强大的统计建模框架。要保证一个已知单个样本函数的过程（序列）具有遍历性，其实要求并不严格，只需要确定存在一个遍历过程（序列），该时间函数可能是其一个实现即可。例如，一个被背景噪声 $d(t)$ 加性