USACO 2019 February Contest Platinum T3: Mowing Mischief

题目大意

Bessie的表妹Ella和Bella正在参观农场。不幸的是，自从他们到达以来，他们一直在恶作剧。

在他们的最新计划中，他们决定尽可能多地割草。农场的草地是 T×T 的正方形。左下角是 (0,0) ，右上角是 (T,T) 。因此，正方形包含 (T+1)² 个格点（具有整数坐标的点）。

Ella和Bella计划从 (0,0) 开始并以每秒一个单位长度的速度运行到 (T,T) ，同时每只奶牛都握住非常锋利且非常有弹性的线的一端。任何被这根电线扫过的区域的草都会被切断。Ella和Bella可能采取不同的路径，但她们只会向上或者向右移动，从一个格点移动到另一个格点。

Bessie非常担心会切割太多的草，所以她发明了一个聪明的计划来限制Ella和Bella的路径。在整个草原上散布着 N 种花（1≤N≤2e5），每种花都在一个特定的格点上。 Bessie将从这些花中挑选一个子集 S ， S 集合中的花Ella和Bella都需要经过（Ella和Bella的路径都必须经过 S 中的所有花朵）。

Ella和Bella将会切割面积尽可能大的草，请帮助Bessie确定集合 SS 使得在 SS集合尽可能大的情况下被切割的草的面积最小。

题目分析

经过思考，我们发现骑士拉着线扫对Ella和Bella来说最优的情况就是划出一个矩形。

所以，问题变成了在 N 个点中选择某些点，排序后一一构成矩形（相邻的点），求构成的这些矩形的最小面积和。

 

将所有点按照其横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序，靠前的点无法转移到靠后的点。用树状数组进行动态规划，我们可以得到以每个点为结尾的选取序列的最优长度。（相当于求以每个点结尾的LIS）并根据LIS的大小对点进行分层。

可以得出属于同一层的点横坐标递增，纵坐标递减。

 

接下来，我们只需要考虑层与层之间的转移。（本层点的LIS一定是由上一层点的LIS转移过来的）

转移方程如下：

 

dp_i​ =Min_j （j为上一层点 且 x_j​≤x_i​, y_j​≤y_i）​ ​{dp_j ​+ (x_i​−x_j​) ∗ (y_i​−y_j​) } 

把后一项拆开，得：

dp_i​ =Min_j （j为上一层点 且 x_j​≤x_i​, y_j​≤y_i）​ ​{dp_j ​+ x_j​y_j​ − x_i​y_j ​

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