南昌邀请赛网络赛K.MORE XOR（数学推导）

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本文详细解析了南昌邀请赛网络赛K.MOREXOR题目的解题思路，通过数学推导分析函数f(l,r), g(l,r), w(l,r)，并给出了AC代码实现，重点讨论了在不同区间的长度下各元素的贡献规律。

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南昌邀请赛网络赛K.MORE XOR（数学推导）

题目大意

定义函数 $f (l, r)$ 为 $⊕ai(i∈[l,r])⊕a_i(i\in [l,r])$ ，函数 $g (l, r)$ 为 $⊕f(x,y)(x,y∈[l,r])⊕f(x,y)(x,y\in [l,r])$ ，函数 $w (l, r)$ 为 $⊕g(x,y)(x,y∈[l,r])⊕g(x,y)(x,y\in [l,r])$ 给出一段序列 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 给出q个询问 $(l, r)$ 要求输出 $w (l, r)$

解题思路

首先分析 $g (l, r)$ ：

设(l,r)段的长度为n，则在这一区段的中的第i个数在该区段的 $i * (n - i + 1)$ 个子区段中都会出现.

当n为偶数时：可以发现不论i取什么值 $i * (n - i + 1)$ 总是偶数，故其异或和定为0

当n为奇数时：可以发现当i为偶数时 $i * (n - i + 1)$ 也就是偶数，故其贡献为0，当i为奇数数其贡献即为其本身

接着来分析 $w (l, r)$ ：

接着设(l,r)段的长度为n，则对于这段区间中的第i个数其总会在 $floor(i+12)∗floor(n−i+22)floor({i+1\over 2})*floor({n-i+2\over 2})$ 个子区间中出现

根据上面的式子容易发现对于区间长度其增加4不会对整个式子的奇偶性造成影响

为此枚举 $mod4n\ mod 4$ 的即可(同理对i枚举时也只需要对 $mod4i\ mod 4$ 枚举即可)

通过枚举，可以得出结论：

当n为4*k+1时：区间中的第 $4 i + 1$ 项出现奇数次故有贡献

当n为4*k+2时：区间中的第 $4 i + 1$ 与 $4 i + 2$ 出现奇数次有贡献

当n为4*k+3时：区间中的第 $4 i + 2$ 项出现奇数次有贡献

当n为4*k+4时：区间中无数字有贡献

由此分起始点为1，2，3，4的情况分别算间隔4项的异或前缀和，每次根据查询输出答案即可

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int size=1e5+5;
#define int long long 
int sum[4][size];
int arr[size];
int32_t main()
{
	int t;
	scanf("%lld",&t);
	int n;
	while(t--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%lld",&arr[i]);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=0;j<=3;j++)
			{
				sum[j][i]=sum[j][i-1];
			}
			sum[i%4][i]=sum[i%4][i]^arr[i];
		}
		int q;
		scanf("%lld",&q);
		int l,r;
		while(q--)
		{
			scanf("%lld%lld",&l,&r);
			int len=r-l+1;
			if(len%4==0) printf("0\n");
			else if(len%4==1)
			{
				int b=l%4;
				printf("%lld\n",sum[b][l-1]^sum[b][r]);
			}
			else if(len%4==2)
			{
				int b=l%4,c=(l+1)%4;
				printf("%lld\n",sum[b][l-1]^sum[b][r]^sum[c][l-1]^sum[c][r]);
			}
			else if(len%4==3)
			{
				int c=(l+1)%4;
				printf("%lld\n",sum[c][l-1]^sum[c][r]);
			}
		}
	}
	return 0;
}