曲线拟合

实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线拟合的方法很多，本节只介绍曲线直线化。

一、曲线直线化的意义

曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。

二、常用的非线性函数

1.指数函数(exponential function)

Y=aebX(12.29)

对式（12.29）两边取对数，得

lnY=lna+bX(12.30)

b>0时，Y随X增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。见图12.4(a)、(b)。当以lnY和X绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用指数函数来描述Y与X间的非线性关系，lna和b分别为截距和斜率。

更一般的指数函数

Y=aebX+k(12.31)

式中k为一常量，往往未知, 应用时可试用不同的值。

2.对数函数（lograrithmic function）

Y=a+blnX(X>0)(12.32)

b>0时，Y随X增大而增大，先快后慢；b<0时，Y随X增大而减少，先快后慢，见图12.4(c)、(d)。当以Y和lnX绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述Y与X之间的非线性关系，式中的b和a分别为斜率和截距。

更一般的对数函数

Y=a+bln(X+k) (12.3