二叉树-节点分析

通过问题了解：

 问题一：

某二叉树中度为2的结点有18个，则该二叉树中有

 

性质1：

二叉树的终端结点（叶子结点）数等于双分支结点数加1. 假设二叉树中终端结点数为n0,单分支结点数为n1,双分支结点数为n2,二叉树中总结点数为n,因为二叉树中所有结点度数均小于或等于2,所以有：n＝n0＋n1＋n2；另一方面,二叉树中所有结点的分支数（即度数）应等于单分支结点数加上两倍的双分支结点数,即n1＋2×n2.由树的性质1,有：n＝n1＋2×n2＋1.根据以上两个式子,我们可以得出下面这个等式成立：n0＋n1＋n2= n1＋2×n2＋1,所以n0＝n2＋1.

 设度为0，1和2的节点分别为x,y,z,则二叉树总结点数为S=2z+y+1或S=x+y+z,得z+1=x,即度为2的节点数比叶子节点树少1.

性质2：

2的结点数比叶子结点数少1，18+1=19

 

 

 问题二：

 　　一颗二叉树共有47个节点，其中有23个度为2的节点。假设根节点在第一层。求改二叉树的深度

 【答案】　　

　　6

 【解析1】　　

　　根据二叉树的性质，度为0的结点个数比度为2的结点多一个。所以本题中度为0的结点的个数为24。在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k>=1)个结点。所以第一层上最多1个结点，第二层上最多2个结点，第三层上最多4个结点，第四层上最多8个结点，第5层上最多16个结点。前5层的总共结点个数等于31，而本题度为2的结点个数为23，因此第5层上只能有8个度为2的结点，即在第6层上还有16个度为0的结点。

 

 【解析2】

　　n0=n2+1.所以n0=24，n2=23，一共47.即不存在度为1的结点，为完全二叉树。深度为k的完全二叉树结点最多有2的k次方-1个结点，故为(2^k)-1<=47，故得到【解析1】的计算方式；计算反向每层节点数应该是48》24》12》6》3》1完成。故结果为6

 

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