数字图像处理的python实践(11)——傅里叶变换和快速傅里叶变换

最新推荐文章于 2025-07-11 15:31:45 发布

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本文介绍了数字图像处理中傅里叶变换的基础知识，包括一维和二维傅里叶变换的定义及逆变换。重点讨论了快速傅里叶变换(FFT)的原理，特别是按时间抽取的基-2FFT算法，通过实例解释了如何通过分解序列进行计算。同时，提到了在编程实现过程中需要注意的数组拷贝问题，并展示了正确计算FFT的Python代码。

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前面接触了空间域图像增强，现在要来学习频率域的图像增强。

对于一维的连续函数，定义域为整个时间轴的非周期函数f(t)，它的傅里叶变换为

$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i2\pi ux}dx$

对应的逆傅里叶变换为

$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{i2\pi ux}du$

一维的离散函数 (其中x=0，1，2，...，M-1) 的傅里叶变换和逆变换为

$F(u)=\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-i2\pi ux/M},u=0,1,2,...M-1$

$f(x)=\frac{1}{M}\sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{i2\pi ux/M} , x = 0,1,2,...,M-1$

对于二维的情况，二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换为

$F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$

$f(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dxdy$

在数字图像处理中我们关心的自然是，二维离散函数的傅里叶变换，直接给出二维离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)的公式：

$F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-i2\pi (ux/M+vy/N)}$

$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{i2\pi (ux/M+vy/N)}$

其中u=0,1,2,...,M-1，V=0,1,2,...N-1。

下面来定义傅里叶变换的幅度谱、相位谱和功率谱。

幅度谱

$\left | F(u,v) \right |=\left [ Re(u,v)^{2} + Im(u,v)^{2}\right ]^{1/2}$

显然，幅度谱关于原点具有对称性。

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