3. 运算电路基础

3.1 数字逻辑电路基础

1. 布尔代数

• 0和1分别代表逻辑值“假”和“真”
• 最基本的逻辑运算有：

与（AND）	或（OR）	非（NOT）
“ • ” ( “ ∧” )	“ + ” ( “ ∨ ” )	“ ¯ ” ( “ ﹁ ” )

任何一种逻辑表达式都可写成 这三种基本运算的逻辑组合

例如，异或（XOR）运算的 逻辑表达式为： $A\oplus B=A•\overline{B}+\overline{A}•B$,异或运算也称不等价运算。

2. 门电路

（1）一位逻辑门电路

• 三种基本门电路：与门、或门、非门
• 其他门电路可以由三种基本门电路组合形成（如异或门电路）
  

（2）n位逻辑门电路

（3）组合逻辑部件

• 根据电路是否具有存储功能，将逻辑电路划分为两种类型
   –组合逻辑电路：没有存储功能，其输出仅依赖于当前输入
   –时序逻辑电路：具有存储功能，其输出不仅依赖于当前输入 ，还依赖于存储单元的当前状态
• 可以利用基本逻辑门电路构成一些具有特定功能的组合逻辑部件 （功能部件）
   –如译码器、编码器、多路选择器、加法器等
• 实现一个功能部件的过程 （逻辑函数的化简）
   ①用一个真值表描述功能部件的输入和输出之间的关系
   ②根据真值表确定逻辑表达式
   ③根据逻辑表达式实现逻辑电路

3. 组合逻辑部件

（1）多路选择器

最简单的多路选择器（MUX）是二路选择器
 – 有两个输入端A和B，一个输出端F，并有一个控制端S，
 – 其功能是 ：当S为0时，F=A；当S为1时，F=B。

k路选择器应有k路输入，因而控制端S的位数应是「log2k」
 – 例如，三路或4路选择器，S有两位；5~8路选择器，S有3位。

（2）一位加法器（全加器）

一位加法器称为全加器
 – 两个加数为A和B
 – 低位进位为Cin
 – 和为F
 – 向高位的进位为Cout

化简后，逻辑表达式如下:
$$\begin{gathered} F=A\oplus B\oplus Cin \\ Cout=A•B+A•Cin+B•Cin \end{gathered}$$

（3）n位加法器

• n位加法器可用n个全加器实现
  
  加法由逻辑部件实现，而其他所有算术运算部件都基于加法器 和逻辑运算实现，因此，所有算术运算是基于0和1以及逻辑运算实现的！

（4）n位带标志加法器

• n位加法器无法用于两个n位带符号整数 （补码）相加，无法判断是否溢出
• 程序中经常需要比较大小，通过（在加法器中）做减法得到的标志信息来判断

$$\begin{gathered} 溢出标志OF：OF=Cn\oplus Cn-1 \\ 符号标志SF：SF=Fn-1 \\ 零标志ZF:ZF=1当且仅当F=0； \\ 进位/借位标志CF：CF=Cout\oplus Cin \end{gathered}$$

（5）n位整数加/减运算器

• 利用带标志加法器，可构造整数加/减运算器，进行以下运算：
   - 无符号整数加、减
   - 带符号整数加、减
  
  在整数加/减运算部件 基础上，加上寄存器、 移位器以及控制逻辑， 就可实现ALU、乘/除运算以及浮点运算电路

（6）算术逻辑部件（ALU）

• 进行基本算术运算与逻辑运算 – 无符号整数加、减
   – 带符号整数加、减
   – 与、或、非、异或等逻辑运算
• 核心电路是带标志加法器
• 输出除和/差等，还有标志信息
• 有一个操作控制端（ALUop）， 用来决定ALU所执行的处理功能。 ALUop的位数k决定了操作的种类 ，例如，当位数k为3时，ALU最 多只有23=8种操作。
  
  

3.2 从C表达式到逻辑电路

以赋值语句 y=(x>>2)+k 为例

1. 从C表达式到运算类指令

C语言程序中的基本数据类型、基本运算类型
（1）基本数据类型
   ①无符号数(二进制位串)、带符号整数(补码)
   ②浮点数(IEEE 754标准）
   ③位串、字符（串）（ASCII码）
（2）基本运算类型
   ①算术(+ -* / % > < >= <= == !=)
   ②按位( | & ~ ^)
   ③逻辑( || && ！)
   ④移位( << >>）
   ⑤扩展和截断

2. 从运算类指令到运算电路

（1）将各类表达式编译（转换）为指令序列
  例如：y=(x>>2)+k 转换为以下指令序列：
     sarw $2, %ax ;       x>>2
    addw %bx, %ax ;   (x>>2) + k
（2）计算机直接执行指令来完成运算
    控制器对指令进行译码，产生控制信号送运算电路
（3）操作数在运算电路中运算
    sarw $2, %ax：将操作数“2”和“R[ax]”送移位器运算
    ddw %bx, %ax：将R[ax]和R[bx]送整数加减器中运算
移位器和整数加减运算器都是由逻辑门电路构成的！

3. 数据的运算

（1）高级语言程序中涉及的运算（以C语言为例）
   – 整数算术运算、浮点数算术运算
   – 按位、逻辑、移位、位扩展和位截断等运算
（2）指令集中涉及到的运算
    – 涉及到的定点数运算
    •算术运算
     带符号整数：取负/ 符号扩展/ 加/ 减/ 乘/ 除 / 算术移位
     无符号整数：0扩展/ 加/ 减/ 乘/ 除/ 逻辑左移/ 逻辑右移
     •逻辑运算
     逻辑操作：与/ 或/ 非/ …
    – 涉及到的浮点数运算：加、减、乘、除
（3）指令中的运算操作在运算电路中进行
   – 基本运算部件ALU、通用寄存器组，以及其他部件

3.3 C语言中的各类运算

1. C语言程序中涉及的运算

（1）算术运算（最基本的运算）

• 无符号数、带符号整数、浮点数的+、-、*、/ 、%运算等

（2）按位运算

 –用途
  • 对位串实现“掩码”（mask）操作或相应的其他处理 （主要用于对多媒体数据或状态/控制信息进行处理）
 –操作
  • 按位或：“|”
  • 按位与：“&”
  • 按位取反：“~”
  • 按位异或：“^”

Q:如何从数据y中提取低位字节，并使高字节为0？

A: 可用“&”实现“掩码”操作：y & 0x00FF
例如，当y=0x0B2C时，得到结果为：0x002C

（3）移位运算

 –用途
   • 提取部分信息
   • 扩大或缩小2、4、8…倍
 –操作
   • 左移:：x<<k; 右移：x>>k

从运算符无法区分逻辑移位还是算术移位，由x的类型确定

• 若x为无符号数：逻辑左（右）移 高（低）位移出，低（高）位补0，可能溢出！
  Q: 何时可能发生溢出？如何判断溢出？
  A: 若高位移出的是1，则左移时发生溢出
• 若x为带符号整数：算术左移、算术右移
  左移： 高位移出，低位补0。可能溢出！
  溢出判断： 若移出的位不等于新的符号位，则溢出。
  右移： 低位移出，高位补符，可能发生有效数据丢失。

• 移位运算和按位运算举例

Q: 对于一个 n （ n ≥8）位的变量 x ，请根据C语言中按位运算的定义， 写出满足下列要求的C语言表达式。
（1） x 的最高有效字节不变，其余各位全变为0。
（2） x 的最低有效字节不变，其余各位全变为0。
（3） x 的最低有效字节全变为0，其余各位取反。
（4） x 的最低有效字节全变1，其余各位不变。
A：
（1）(x>>(n-8))<<(n-8)
（2）x & 0xFF
（3）((x^ ~0xFF) >>8 )<< 8
（4）x | 0xFF

（4）逻辑运算

 –用途
   • 用于关系表达式的运算
   例如，if （x>y andi<100）then ……中的“and”运算
 –操作
   • “‖”表示“OR”运算
   • “&&”表示“AND”运算 例如，if ((x>y) &&(i<100)) then ……
   • “!”表示“NOT”运算
 –与按位运算的差别
    • 符号表示不同：& ~ && ；| ~ ‖；……
   • 运算过程不同：按位~ 整体
   • 结果类型不同：位串~ 逻辑值

（5）位扩展和位截断运算

 –用途
   • 类型转换时可能需要数据扩展或截断
 –操作
   • 没有专门操作运算符，根据类型转换前、后数据长短确定是扩展还是截断
   • 扩展：短转长
     无符号数：0扩展（前面补0）
     带符号整数：符号扩展（前面补符）
   • 截断：长转短，强行将高位丢弃，故可能发生“溢出”

例1（扩展操作）： 在大端机上输出si, usi, i, ui的十进制和十六进制值是什么？
   short si = -32768;
   unsigned short usi = si;
   int i = si;
   unsingned ui = usi ;
A:
   si = -32768 8000 H
   usi = 32768 8000H
   i = -32768 FFFF 8000H 带符号整数：符号扩展
   ui = 32768 0000 8000H 无符号整数：0扩展

例2（截断操作）：i 和j 是否相等？
   int i = 32768;
   short si = (short) i;
   int j = si;
A:
   不相等！
   i = 32768 0000 8000 H
   si = -32768 8000H
   j = -32768 FFFF 8000H
原因：对i截断时发生了“溢出”，即：32768截断为16位数时， 因其超出16位能表示的最大值，故无法截断为正确的16位数！

3.4 整数加减运算

1. 整数加、减运算

• C语言程序中的整数有
    –带符号整数，如char、short、int、long型等
    –无符号整数，如unsigned char、unsigned short、 unsigned等
• 指针、地址等通常被说明为无符号整数，因而在进行指针或地址运算时，需要进行无符号整数的加、减运算
• 无符号整数和带符号整数的加、减运算电路完全一样，这个运算电路称为整数加减运算部件，基于带标志加法器实现
• 计算机中的加法器，因为只有n位，所以是一种模2n运算系统

2. 整数加减运算部件

（1）补码加减运算要点和运算部件

• 加、减法运算统一采用加法来处理
• 符号位(最高有效位MSB)和数值位一起参与运算
• 直接用Adder实现两个数的加运算（模运算系统） 运算结果高位丢弃，保留低n位，相当于取模2n
• 实现减法的主要工作在于：求[–B] 补 ,$[–B]补=\overline{B}+1$

（2）所有运算电路的核心——加法器

• 计算机中所有运算都基于加法器实现
• 加法器不知道所运算的是带符号数还是无符号数。
• 加法器不判定对错，总是取低n位作为结果，并生成标志信息。
  

①零标志ZF、溢出标志OF、进/借位标志CF、符号标志SF称为条件标志

标志	计算
OF	（带符号数运算）若A与B’同号但与Sum不同号，则1；否则0
SF	sum符号
ZF	如Sum为0，则1，否则0。
CF	Cout ⊕ sub

②存放标志的寄存器通常称为程序/状态字寄存器或标志寄存器。每个标志对应标志寄存器中的一个标志位。 如，IA-32中的EFLAGS寄存器。
③生成并保存的条件标志，在分支指令（条件转移指令）中被用作是否转移执行的条件

3. 整数加法举例

4. 整数减法举例

5. 溢出判断

	无符号	带符号
加溢出	进位CF = 1	OF = 1
减溢出	差为负数，即借位CF = 1	(1) 最高位和次高位的进位不同 Cn⊕Cn-1 (2) 和的符号位和加数的符号位不同

（1）无符号整数加法溢出判断程序

发生溢出时，一定满足$result<x$ and $result<y$
否则，若 $x+y-2^n\ge x$，则 $y\ge 2^n$ ，这是不可能的

/* Determine whether arguments can be added without overflow */ 
	int uadd_ok(unsigned x, unsigned y) 
	{ 
		unsigned sum = x+y;
		return sum >= x;
	}

（2）带符号整数加法溢出判断程序

当两个加数异号，和不会出现溢出；
当两个加数同号，且和与加数符号相反时，出现溢出。

/* Determine whether arguments can be added without overflow */ 
int tadd_ok(int x, int y) 
{
	  int sum = x+y;
	  int neg_over = x < 0 && y < 0 && sum >= 0; //负溢出
	  int pos_over = x >= 0 && y >= 0 && sum < 0; //正溢出
	  return !neg_over && !pos_over;
} 

（3）带符号整数减法溢出判断程序

如果直接调用上面的 tadd_ok(x, -y)，当x=0，y=0x80000000时，会出现函数判断错误。