常用多项式算法

牛顿迭代公式

多项式的牛顿迭代公式用来解决以下问题：

给出 $G(x)$ 求解 $f(x)$ 满足方程 $G(f(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$

先给出公式：

设 $G(A_0)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^m),G(A)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2m})$ ，则：

$$A(x)\equiv A_0(x)-\frac{G(A_0)}{G^{\prime }(A_0)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2m})$$

推导过程如下：

显然， $G(A)-G(A_0)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^m)$ ，而 $A(x)-A_0(x)$ 必为 $G(A)-G(A_0)$ 的因式之一，因此我们取 $A(x)-A_0(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^m)$ 的一解即可。

将 $G(A)$ 在 $A_0(x)$ 处泰勒展开：

$$G(A)=G(A_0)+\sum _{i=1}^{\infty }\frac{(A(x)-A_0(x){)}^i{G}^{(i)}(x)}{i!}$$

由于对 $i\ge 2$ 有 $(A(x)-A_0(x){)}^i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2m})$

因此就有：

$$G(A)\equiv G(A_0)+(A(x)-A_0(x))G^{\prime }(A_0)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2m})$$

$$A(x)\equiv A_0(x)-\frac{G(A_0)}{G^{\prime }(A_0)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2m})$$

注意 $G^{\prime }(A_0)$ 指 $G$ 对 $A_0$ 的导数。

还有一点就是，由于 $A(x)-A_0(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^m)$ ，因此只要知道 $\frac{1}{G^{\prime }(A_0)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^m$ 即可。

多项式常用函数的求法

元的线性变换

就是给定 $F(x)$ 求 $F(px+q)$ 。

先给出 $F(x+q)$ 的求法：

设
F(x)=∑i=0maixiF(x)=\sum_{i=0}^{m}a_ix^i