最长上升子序列(LIS)

小菜鸡刚学完，趁热记录一波；

最长上升子序列，顾名思义，就是求一段序列中的子序列，这些个子序列要求是不断上升的，并且是最长的，例如：

seq[]={1,2,3,1,2,3} //举这个例子是有特殊用意的，题目经常要求的是“最长不下降子序列” 下面我们举的例子都是最长不下降，事实上和最长上升也只是差一个等号而已； 

seq的最长上不下降子序列就是，{1,1,2,3}或者{1,2,2,3}，就是这样，不断上升（不下降即可），最长；

接下来介绍两种方法求最长上升子序列的长度,是的，下面这两种套路只能求长度，要输出的话需要技巧，等我厉害了在写；

方法一：dp， 复杂度O(N2)；

首先一个数组记录输入数字，还是上面的 seq[7]={+oo，1,2,3,1,2,3}； 再来一个数组记录状态：dp[i] (什么意思？具体这个数组干啥用的？ 它的每个元素代表着，从0到当前下标，并必须以当前下标为结尾，的最长的上升子序列的长度是多长);

接下来手写算法过程: 

首先看seq的第一个元素 1: 它是序列的第一个元素，当前我们只看到这里，前面没有元素了,那最长子序列只有他自己一个,即{1}，长度为1; 则记下长度dp[1]=1, 

接下来看第二个元素  2：我们向前面的状态看，前面只有一个1，2比1大，所以通过1这个比他小的元素，他可以和1组成一个上升子序列{1,2}，长度为2，前面记录过从 1之前到1 它最长的上升子序列长度是1，我们用了dp[1]=1记录下了它的状态，此时正是使用的时候，那么状态更新为 dp[2]=dp[1]+1=2;{1,2};

第三个元素 3:3比第一个元素 1 大，也比第二个元素2大,也就是说，3可以直接接到{1} 的状态后面,也可以直接接到{1,2} 后面, 我们要最长,自然是选第二个，记录第二个的状态是dp[2]，那么 状态更新为 dp[3]=dp[2]+1=3;{1,2,3}；

 第四个元素 1: 上面说了求最长不下降，自然只要不比1小就行, 我们向前看，前面不比1小的元素只有第一个元素1，它的状态是dp[1]=1,{1}，也就是说 我们只能从这个状态更新，因为只有第一个元素不比它大，那么我们可以更新为 dp[4]=dp[1]+1; {1,1};

第五个元素 2:前面比不比它大的元素只有 第一个元素1，第2个元素2，第四个元素1；状态分别是：dp[1]=1;dp[2]=2;dp[4]=2,也就是说 我们只能从这三个状态更新过来， 那我们要的是最长，自然，选dp[]数组值最大的,即{}里面的数最多的, 此时dp[2]=dp[4]=2,两个同时最大,因为只求长度，所以任选一个结果一样 dp[5]=dp[2]+1=3  {1,2,2} || dp[5]=dp[4]+1=3 {1,1,2};

第六个元素 3: 前面所有元素都不比它大，我们挑一个前面的最大的就行，此时dp[5]最大，是3，所以从dp[5]更新过来，dp[6]=dp[5]+1=4;

完毕，dp[]数组此时里面存的，就是以当前下标为结尾的最长不下降子序列的长度，那么我们只需要在里面找出最大的那一个，就是最长不下降子序列。 下面上代码

#include<stdio.h>
int main()
{
	int seq[11];
	int d[11]={0};
	int i,n,j,max=0,mark=0;
	scanf("%d",&n);  //长度为n的序列
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&seq[i]); //输入长度为n的序列
	}
	for(i=1;i<=n;i++)    //遍历1~n，遍历到哪个元素，以哪个元素为结尾
	{
		for(j=1;j<=i;j++)  //用来遍历此元素之前的元素
		{
			if(seq[i]>=seq[j])   //如果在这个元素之前找到了不大于它的数，如果是要找小于它的数，去掉等号即可
			{
				if(d[j]>max) max=d[j];  //max为临时变量，用于存储在此元素之前，最大的一个不大于它的元素的状态
				mark=1;   //标记一哈，意为前面有不大于它的数
			}
		}
		if(mark==1) d[i]=max+1;  //如果前面有不大于它的数，直接从那个数字更新
		else d[i]=1;  //如果没有，长度为1，因为只有它自己一个元素
		mark=0;max=0;  //重新赋值一哈
	}
	printf("dp[] = ");
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		printf("%d ",d[i]); //输出状态数组的
		if(d[i]>max) max=d[i];  //找最大的
	}
	printf("\n");
	printf("最长不下降子序列长度是：%d\n",max); //输出最长不下降子序列的长度
	return 0;	
} 

方法二：dp+二分, O(NlogN)

//累了，先到这吧- =~