哈市雪花的博客

空间平面方程：空间两平面如果不平行，那么一定相交于一条空间直线，空间平面求交有多种方法，本文进行相关讨论。

浮点值的存储、运算都可能会带来精度损失，了解精度损失背后的机制原因方便我们更好的了解什么情况下会发生精度损失、什么情况下精度损失较大，以及思考怎么避免或减少精度损失。

作者基于递归迭代求解实现点集的最小外轮廓计算，在CGLib库中实现，已集成于CGViewer，可联系作者试用，欢迎提出宝贵意见。下图为CGViewer中绘制、计算和显示效果，

化繁为简，追求数学公式简洁之美往往能保持较高得计算精度。上述算法实现已集成进博主开发得CGLib库中，效果请参考微信公众号，欢迎关注交流。瞅瞅迷你CAD可以长什么样？开发一款迷你CAD专注于图形几何、数据处理、并行计算技术，欢迎交流。

以前用过相关的库，忘记名字了，记得是构造了TopoPolygonTree，可以获取最大外轮廓，以及构成该最大外轮廓的其他轮廓，而内部轮廓是以树的形式表示，每个树节点是一个轮廓，树节点的深度（node.deep % 2 == 0?outer : inner）代表其是外轮廓还是内轮廓。重新研究实现，进行代码的测试和问题修改，简单记录如下。

原图--》提取轮廓线--》计算最小外包轮廓--》网格剖分--》铺装填充。奇奇怪怪的图形几何算法，欢迎交流。

调整tile的尺寸和铺装范围，像更加精美的艺术图案，可以作为logo或图标，赋予了艺术和数学之美~图案变得更具艺术感~电视机？一切皆可铺装，像纹理填充一样。嘿嘿，不咋炫酷的轮廓，也变得更加艺术，色彩之美跃然于眼眸~狗子像穿了一件精心织就而成的纹理衣饰，变得抽象起来~轮廓铺装：地板铺装、墙砖铺砖、吊顶铺装、图案填充。可以用铺装算法，使得设计和艺术变得更有创造力。你知道怎么设置地砖排布吗？有一块布料，怎么填充好看的纹理？

bullet库作为物理引擎提供很强大的功能，其目标是游戏场景的物理分析，包括碰撞、动力等方面，具有广泛的应用。参考上述步骤执行，目的是编译bullet库、编译项目时该宏的定义保持一致，因为btScalar会被bullet导出接口的变量使用，如btVector3、btVector4等，避免项目对该变量的理解和bullet编译时赋予的意义不一致。

最小包围轮廓之美一起来欣赏图形之美~

凸包话题包括二维凸包、三维凸包以及高维凸包。对于平面点集，探究如何构造可以覆盖给定点集最小的凸多边形；对于三维空间点集，探究如何构造可以覆盖点集的最小凸实体；凸包的计算和应用还可以扩展到高维空间，用于解决更复杂的几何问题‌。作者实现的完整实现了二三维凸包算法，相关技术文章和参考作者优快云博文，本文仅对二维凸包效果进展展示和赏析，和大家一起领略图形几何之美~提示：作者优快云博文1. [凸包计算]求解点集合的凸包轮廓2. 几何算法系列-三维凸包。

有多种方法可计算轮廓的法向量，如根据轮廓类型进行法向量的计算、轮廓有向面积辅助法、Newell向量法等。如上文多边形轮廓面积计算中的内容所述，轮廓的法向量和面积密切相关，我们常说的法向量为单位法向量，而模长等于面积的法向量是多边形轮廓多维度的几何和物理属性，更能表达轮廓的几何特征。图：轮廓法向量需要注意的是由于浮点数存储和运算的精度损失，可能造成求轮廓法向的精度损失，如角点由于精度损失并非精确的在一个平面上（而是在容差范围内属于一个平面）、角点距离很近导致可能进一步影响法向计算的精度等。

一种常用的是微积分思路的分段求和办法是将组成轮廓的每条线段与X轴或Y轴进行有向投影，轮廓边线与X轴或Y轴的投影之和即为轮廓的有向面积。

所有的3D工具都包含一个具有X、Y和Z轴的三维环境。在这些工具中，X轴方向是相同的，即在前视图是从左到右的水平线。然而, 不同的 3D 工具可能对Y轴和Z轴的朝向有不同的解释。一些3D工具是Y-Up的, 即Y轴是竖直方向的；而其他的3D工具是Z-Up的, 即Z轴是竖直方向的。

如果一次仿射变换中存在多种类型的姿态变换，需要先进行矩阵左上角的3X3部分（缩放、旋转、镜像、非均匀变换）的构造处理，最后再叠加偏移。这是我们从一些书籍或老司机口中得知的重要经验，大白话就是“先转后偏”，那么为什么要这样呢？先偏后转不行吗？还是先转后偏有其不可忽略的独门绝技？如果先偏移，则需要基于偏移值的坐标点进行矩阵左上角3X3部分的构造，这将变得复杂的多，这对于大多数人来说不可接受，毕竟我们很多时候要做的是化繁为简，同时提高精度。下面我们对比下先转后偏和先偏后转的特点和区别。

在几何计算、图形渲染、动画、游戏开发等领域，常需要进行元素的平移、旋转、缩放等操作，一种广泛应用且简便的方法是使用仿射变换进行处理。相关的概念还有欧拉角、四元数等，四元数在图形学中主要用于解决旋转问题，特别是在三维空间中绕任意轴的旋转，且四元数与仿射变换可以相互转换。。本篇我们继续进行探索，包括等内容。

仿射变换是一种结合了线性变换和平移的变换，不仅包括旋转、缩放等线性变换，还包括平移操作。变换前是直线的，变换后依然是直线；直线比例保持不变。仿射变换可以用形如下图的4x4矩阵表示，即仿射变换矩阵。图：4x4矩阵注意如果没有特殊说明，本文所述仿射变换矩阵皆为矩阵乘列向量/点方式的，即把向量和点作为4x1矩阵参与运算，如下图所示。

实体结构的表达由多种方式，如分解表示、构造表示**CSG**（Constructive Solid Geometry）、边界表示**BRep**（Boundary Representation）、网格表示等。常见的分解表示法有四叉树、八叉树、BSP树等方式。CSG方式出现较早，后来出现了BRep普及比较快，现在大部分领先的几何内核（ACIS、PS、OCC等）采用BRep方式，有关两者的优缺点和适用场景比较的讨论已有很多，本文不再赘述。