[BZOJ]5193: [Usaco2018 Feb]Cow Gymnasts 数学+乱搞

最新推荐文章于 2021-08-08 00:12:49 发布

原创最新推荐文章于 2021-08-08 00:12:49 发布 · 396 阅读

3 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数论同时被 2 个专栏收录

30 篇文章

订阅专栏

暴力

17 篇文章

订阅专栏

在一场特别的马戏表演中，奶牛们需要在舞台上进行一系列的旋转和堆叠，形成魔幻的排列。每头奶牛都位于一个圆形舞台上的平台上，随着指令，它们将顺时针移动并重新堆叠。为了使表演更加精彩，每次移动后，每个平台上的奶牛数量必须与初始数量相同。本篇探讨如何计算满足这一条件的排列总数，并使用高级算法解决这一问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

厌倦了农场生活，奶牛们变卖了所有尘世的财产，加入了一支巡回马戏团。到现在为止，奶牛们已经能够进行简单的表演了：耍火把、走钢丝、骑独轮车——没什么是拥有灵巧蹄子的奶牛做不到的。但是，马戏团指挥想要为他们的下一次演出创作一个更加激动人心的表演。新的表演所用的舞台由N个围成一圈的平台组成。在每个平台上，1至N头奶牛叠成一摞，一头叠在一头上面。当指挥给出信号的时候，每摞奶牛同时顺时针落下，最下面的奶牛不动，在她上面的奶牛顺时针移动一个平台，再上面的奶牛顺时针移动两个平台，等等。作为技艺高超的体操家，奶牛们明白她们在这个表演的技术方面没有任何问题。不同摞的奶牛在下落的过程中不会相互“干扰”，所以每头奶牛都会落在预期的平台上。然后所有落在同一平台上的奶牛又会重新叠成一摞，这次她们不会再落下来。指挥认为，如果在奶牛们落下之后，每个平台上新的那一摞奶牛的数量和原来这个平台上的那一摞奶牛数量相等的话，这次表演就会格外激动人心。我们把满足这种性质的各摞奶牛的数量排列称为是“魔幻的”。请帮助奶牛计算魔幻的排列数。由于这个数字可能非常大，计算该数mod 10^9+7的余数。两个排列被认为是不同的，如果这两个排列在任何一个平台上分配了不同数量的奶牛。

Solution

首先打个表发现一下，相邻两个差至多为一，这个其实也比较显然。然后看每一层，循环节其实就是 $gcd⁡\gcd$ ，每个循环节都要一样，同一个循环节可以随便放，然后枚举 $gcd⁡\gcd$ ，算一下 $p h i$ 就可以了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int inf=2147483647;
const LL mod=1000000007;
const int N=1000010;
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
map<LL,int>id;int tot=0,c[80],d[80];LL g[80];
void upd(LL&x,LL y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
LL n,ans=0;
int Pow(int x,LL y)
{
    if(!y)return 1;
    int t=Pow(x,y>>1),re=(LL)t*t%mod;
    if(y&1)re=(LL)re*x%mod;
    return re;
}
LL gcd(LL a,LL b){return((!a)?b:gcd(b%a,a));}
int f[N],prime[N],len=0;bool mark[N];
void pre()
{
    for(int i=2;i<=N-10;i++)
    {
        if(!mark[i])f[i]=i,prime[++len]=i;
        for(int j=1;j<=len&&prime[j]*i<=N-10;j++)
        {
            mark[prime[j]*i]=true;f[prime[j]*i]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    pre();
    n=read();
    LL t=n;
    for(LL i=2;i*i<=t;i++)
    if(t%i==0)
    {
        id[i]=++tot;c[tot]=0;g[tot]=i;
        while(t%i==0)c[tot]++,t/=i;
    }
    if(t!=1)id[t]=++tot,c[tot]=1,g[tot]=t;
    for(LL i=2;i*i<=n;i++)
    if(n%i==0)
    {
        for(int j=1;j<=tot;j++)d[j]=0;
        LL k=i,phi=1;
        while(k!=1)
        {
            LL o=f[k],m=1;
            while(f[k]==o)m*=o,k/=o,d[id[o]]++;
            phi=phi*(m-m/o)%mod;
        }
        upd(ans,phi*((Pow(2,n/i)-2+mod)%mod)%mod);
        if(i*i!=n)
        {
            phi=1;
            for(int j=1;j<=tot;j++)
            {
                if(c[j]==d[j])continue;
                phi=phi*((Pow(g[j],c[j]-d[j])-Pow(g[j],c[j]-d[j]-1)+mod)%mod)%mod;
            }
            upd(ans,phi*((Pow(2,i)-2+mod)%mod)%mod);
        }
    }
    /*for(LL i=1;i<n;i++)//移动i i+1层
    {
        LL g=gcd(i,n);
        upd(ans,(Pow(2,g)-2+mod)%mod);
    } */
    printf("%lld",(ans+n)%mod);
}