[THUSC2017]巧克力斯坦纳树+随机+二分

最新推荐文章于 2024-02-03 17:20:00 发布

200815147

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分类专栏：随机斯坦纳树二分

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本文介绍了一种解决复杂巧克力分享问题的算法，通过随机分配颜色值、二分搜索和斯坦纳树模型，实现了在满足特定条件下的最优选择，即在确保连通性和多样性的同时，使美味值中位数最小。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

“人生就像一盒巧克力，你永远不知道吃到的下一块是什么味道。”

明明收到了一大块巧克力，里面有若干小块，排成 $n$ 行 $m$ 列。每一小块都有自己特别的图案 $c_{i,j}$ ，它们有的是海星，有的是贝壳，有的是海螺…其中还有一些因为挤压，已经分辨不出是什么图案了。明明给每一小块巧克力标上了一个美味值 $a_{i,j} ( 0≤a_{i,j}≤10^6 )$ ，这个值越大，表示这一小块巧克力越美味。

正当明明咽了咽口水，准备享用美味时，舟舟神奇地出现了。看到舟舟恳求的目光，明明决定从中选出一些小块与舟舟一同分享。

舟舟希望这些被选出的巧克力是连通的（两块巧克力连通当且仅当他们有公共边），而且这些巧克力要包含至少 $k (1 \leq k \leq 5)$ 种。而那些被挤压过的巧克力则是不能被选中的。

明明想满足舟舟的愿望，但他又有点“抠”，想将美味尽可能多地留给自己。所以明明希望选出的巧克力块数能够尽可能地少。如果在选出的块数最少的前提下，美味值的中位数（我们定义 $n$ 个数的中位数为第 $⌊n+12⌋⌊{n+1\over 2}⌋$ 小的数）能够达到最小就更好了。

你能帮帮明明吗？

题解：

先%pp，提出了最关键的第一步。
给每种颜色随机分配一个 $1 - k$ 的值，作为新颜色，然后再来做。这样的正确率大概是 $5!55=0.0384{{5!}\over {5^5}}=0.0384$ ，所以只要做个上百次就能有很高的正确率。
然后再想怎么做，只有第一问的话显然是一个斯坦纳树的裸题，有第二问的话，考虑在赋值方面做文章。二分中位数，然后比 $m i d$ 小的赋值为 $999$ ，否则赋值为 $1001$ ，为什么呢？我们首先要令选的格子最少，设最后最小权值和为 $a n s$ ，选的格子数显然为 $⌊ans+5001000⌋\lfloor {{ans+500}\over {1000}} \rfloor$ ，然后还需要知道这个 $m i d$ 是大了还是小了，比较 $a n s$ 与 $×1000\lfloor {{ans+500}\over {1000}} \rfloor\ \times1000$ 的大小即可。
这题还是十分巧妙的，两个部分都十分需要脑子（对我来说）。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=240;
const int inf=1061109567;
int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*f;
}
int tx[]={0,0,1,-1},ty[]={1,-1,0,0};
int n,m,k,c[Maxn],a[Maxn],ans,to[Maxn],col[Maxn],val[Maxn];
bool pp(int x,int y){return(x>0&&y>0&&x<=n&&y<=m);}
int P(int x,int y){return(x-1)*m+y;}
struct Edge{int y,next;}e[Maxn<<2];
int last[Maxn],len=0;
void ins(int x,int y)
{
	int t=++len;
	e[t].y=y;e[t].next=last[x];last[x]=t;
}
int f[Maxn][1<<5];bool in[Maxn];
queue<int>q;
void spfa(int S)
{
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();q.pop();in[x]=false;
		for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
		{
			int y=e[i].y;
			if(col[y]!=-1&&f[x][S]+val[y]<f[y][S])
			{
				f[y][S]=f[x][S]+val[y];
				if(!in[y])in[y]=true,q.push(y);
			}
		}
	}
}
int Ans;
void work()
{
	memset(f,63,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n*m;i++)if(col[i]!=-1)f[i][1<<(col[i]-1)]=val[i];
	for(int S=1;S<(1<<k);S++)
	{
		for(int i=1;i<=n*m;i++)
		for(int s=S-1;s;s=(s-1)&S)
		f[i][S]=min(f[i][S],f[i][s]+f[i][S^s]-val[i]);
		memset(in,false,sizeof(in));
		for(int i=1;i<=n*m;i++)
		if(f[i][S]!=inf)in[i]=true,q.push(i);
		spfa(S);
	}
	for(int i=1;i<=n*m;i++)Ans=min(Ans,f[i][(1<<k)-1]);
}
int main()
{
	srand(time(0));
	int T=read();
	while(T--)
	{
		memset(last,0,sizeof(last));len=0;
		n=read(),m=read(),k=read();
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		c[P(i,j)]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		a[P(i,j)]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		for(int p=0;p<4;p++)
		{
			int x=i+tx[p],y=j+ty[p];
			if(pp(x,y))ins(P(i,j),P(x,y));
		}
		int l=0,r=1e6,tmp;bool flag=false;
		while(l<=r)
		{
			int mid=l+r>>1;ans=inf;
			for(int O=1;O<=200;O++)
			{
				Ans=inf;
				for(int i=1;i<=n*m;i++)to[i]=rand()%k+1;
				for(int i=1;i<=n*m;i++)col[i]=((c[i]==-1)?-1:to[c[i]]);
				for(int i=1;i<=n*m;i++)val[i]=((a[i]<=mid)?999:1001);
				work();
				ans=min(ans,Ans);
			}
			if(ans==inf){flag=true;break;}
			int tt=(ans+500)/1000;
			if(ans<=tt*1000)r=mid-1,tmp=tt;
			else l=mid+1;
		}
		if(flag){puts("-1 -1");continue;}
		printf("%d %d\n",tmp,r+1);
	}
}