有上下界网络流

前言：

下面写得只是一些十分基础的东西，是给我以后自己看的，想要彻底弄明白这个内容，推荐去看liu_runda。
注：为了方便，下面所有的(x,y,L,R)都表示一条从x连向y，流量下界为L，流量上界为R的边。

1、无源汇上下界可行流：

问题简述：

给出一个有向图，每条边有流量上下界，没有源点和汇点，要求找到一种流的方法，使得每个点流入的流量与流出的流量相等，且每条边的流量都要满足上下界。

建图方法：

用一个数组$v$储存每个点流入流量与流出流量的差.。对于(x,y,L,R)，建一条x到y，流量为R-L的边，$v[x]-=L,v[y]+=L$；之后扫一遍点，若$v[x]>0$，建一条超级源点$SS$到$x$流量为$v[x]$的边；否则建一条$x$到超级汇点$TT$，流量为$-v[x]$的边，然后跑一遍最大流。

判断是否有解：

扫一遍超级源点连出去的所有边，若全部满流则有解，否则无解。

2、有源汇上下界可行流：

问题简述：

给出一个有向图，每条边有流量上下界，有源点$S$和汇点$T$，要求找到一种流的方法，使得源点$S$的流出量等于汇点$T$的流入量，除源点汇点之外每个点流入的流量与流出的流量相等，且每条边的流量都要满足上下界。

建图方法：

注意到源点的流出量等于汇点的流入量，那么可以建一条$T$到$S$的流量为inf的边，那么就转化为上面的无源汇上下界可行流的问题，按照上面的方法建图即可。

判断是否有解：

同上。

3、有源汇上下界最大流：

问题简述：

给出一个有向图，每条边有流量上下界，有源点$S$和汇点$T$，要求找到一种流的方法，使得源点$S$的流出量等于汇点$T$的流入量，除源点汇点之外每个点流入的流量与流出的流量相等，且每条边的流量都要满足上下界，满足这些前提的情况下，要求流量最大。

建图方法：

对于(x,y,L,R)，建一条超级源点$SS$到$y$的流量为L的边，一条$x$到超级汇点$TT$的流量为L的边，一条$x$到$y$的流量为R-L的边，最后建一条汇点$T$到源点$S$流量为inf的边。

判断是否有解及求最大流：

判断是否有解的方法与前面的一样。
找最大流有两种方法：
首先一开始都要跑一次$SS$到$TT$判断是否有解，以下都是在进行了第一次网络流的情况下进行的。
1、把最大流的初始值设为$T$到$S$这条边的流量，把$SS$连出去的边清掉，把$T$到$S$的边删掉，再在残量网络上跑一次$S$到$T$的最大流，初始最大流加上这次的最大流就是答案。
2、直接跑一次$S$到$T$的最大流即为答案。

4、有源汇上下界最小流：

问题简述：

给出一个有向图，每条边有流量上下界，有源点$S$和汇点$T$，要求找到一种流的方法，使得源点$S$的流出量等于汇点$T$的流入量，除源点汇点之外每个点流入的流量与流出的流量相等，且每条边的流量都要满足上下界，满足这些前提的情况下，要求流量最小。

建图方法：

与有源汇上下界最大流一样。

判断是否有解及求最小流：

判断是否有解的方法与前面的一样。
找最小流：
把最小流的初始值设为$T$到$S$这条边的流量，把$SS$连出去的边清掉，把$T$到$S$的边删掉，再在残量网络上跑一次$T$到$S$的最大流，初始最小流减去这次的最大流就是答案。