20180409胡策C 线段树优化DP

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线段树

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本文介绍了一种利用动态规划（DP）解决特定问题的方法，并通过线段树进行优化，以达到高效的求解过程。文章详细阐述了DP状态定义、转移方程推导及线段树维护技巧。

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题目描述：

这里写图片描述

题解：

$O(n^2)$ DP应该一眼秒吧…… $f[i]$ 表示前i的最小花费， $sw[i]$ 表示w的前缀和，那么有DP方程： $f[i]=min(f[i],f[j]+(h[i]-h[j])^2+sw[i-1]-sw[j])(1<=j<i),f[1]=0$ ，然后再化一下，得到 $f[i]=h[i]^2+sw[i-1]+min\{h[i]\times -2h[j]+f[j]+h[j]^2-sw[j]\}$ ，把 $h[i]$ 看做是直线的x， $-2h[j]$ 看作k， $f[j]+h[j]^2-sw[j]$ 看作b，发现就是求当 $x=h[i]$ 时，最低的直线是多少，这个就可以用线段树维护了，具体可以看bzoj3165这道题。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=150010;
const LL inf=(1LL<<60);
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
struct Seg
{
    int lc,rc,l,r,tag;
}tr[2000010];
struct Line
{
    LL k,b;
    Line(LL _k=0,LL _b=0){k=_k,b=_b;}
}L[Maxn];int ll=0;
LL get(int p,LL x){return L[p].k*x+L[p].b;}
int tot=0;
void build(int l,int r)
{
    int t=++tot;
    tr[t].l=l;tr[t].r=r;tr[t].tag=-1;
    if(l==r)return;
    int mid=l+r>>1;
    tr[t].lc=tot+1;build(l,mid);
    tr[t].rc=tot+1;build(mid+1,r);
}
void insert(int x,int p)
{
    if(tr[x].tag==-1)
    {
        tr[x].tag=p;
        return;
    }
    int lc=tr[x].lc,rc=tr[x].rc,mid=tr[x].l+tr[x].r>>1;

    if(get(p,(LL)tr[x].l)>=get(tr[x].tag,(LL)tr[x].l)&&
    get(p,(LL)tr[x].r)>=get(tr[x].tag,(LL)tr[x].r))return;

    if(get(p,(LL)tr[x].l)<get(tr[x].tag,(LL)tr[x].l)&&
    get(p,(LL)tr[x].r)<get(tr[x].tag,(LL)tr[x].r)){tr[x].tag=p;return;}

    if(get(p,(LL)mid)<get(tr[x].tag,(LL)mid))
    {
        if(get(p,(LL)tr[x].r)<get(tr[x].tag,(LL)tr[x].r))insert(lc,tr[x].tag);
        else insert(rc,tr[x].tag);
        tr[x].tag=p;
    }
    else
    {
        if(get(p,(LL)tr[x].l)<get(tr[x].tag,(LL)tr[x].l))insert(lc,p);
        else insert(rc,p);
    }
}
LL query(int x,LL X)
{
    if(tr[x].tag==-1)return inf;
    if(tr[x].l==tr[x].r)return get(tr[x].tag,X);
    int lc=tr[x].lc,rc=tr[x].rc,mid=tr[x].l+tr[x].r>>1;
    LL re=get(tr[x].tag,X);
    if(X<=mid)return min(re,query(lc,X));
    else return min(re,query(rc,X));
}
LL n,h[Maxn],w[Maxn],f[Maxn];
LL sw[Maxn];
int main()
{
    n=read();sw[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=read(),sw[i]=sw[i-1]+w[i];
    build(0,1e6);
    f[1]=0;
    L[++ll]=Line(-2LL*h[1],f[1]+h[1]*h[1]-sw[1]);
    insert(1,ll);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        f[i]=h[i]*h[i]+sw[i-1]+query(1,h[i]);
        L[++ll]=Line(-2LL*h[i],f[i]+h[i]*h[i]-sw[i]);
        insert(1,ll);
    }
    printf("%lld",f[n]);
}