CCF 201312-4 有趣的数

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本文介绍了一种算法，用于计算特定条件下有趣的数的数量。有趣数需满足特定的数字排列规则，通过动态规划方法解决该问题，给出两种实现代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

试题编号： 201312-4

试题名称：有趣的数

时间限制： 1.0s 内存限制： 256.0MB

问题描述

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

样例输出

Code1

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e4+10;
const ll mod = 1e9+7;
int n;
ll dp[maxn][6];
/*
state used   rest
0     2      013
1     20     13
2     23     01
3     201    3
4     203    1
5     0123
*/
void solve() {
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		int j = i-1;
		dp[i][0] = 1;
		dp[i][1] = (dp[j][0] + dp[j][1]*2) % mod; //由于时时有可能会溢出
		dp[i][2] = (dp[j][0] + dp[j][2]) % mod; //故在递推的同时就进行取模
		dp[i][3] = (dp[j][1] + dp[j][3]*2) % mod;
		dp[i][4] = (dp[j][1] + dp[j][2] + dp[j][4]*2) % mod;
		dp[i][5] = (dp[j][3] + dp[j][4] + dp[j][5]*2) % mod;
	}
	cout << dp[n][5]; //解为第n位的状态5的可能数
}
int main() {
	solve();
	return 0;
}

Code2

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const long long MOD = 1000000007;
const int MAXN = 1000;
const int MAXS = 5;
long long status[MAXN+1][MAXS+1];
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	memset(status, 0, sizeof(status));
	// DP
	status[1][0] = 1;
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		status[i][0] = 1;
		status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1] [0]) % MOD;
		status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % MOD;
		status[i][3] = (status[i - 1][3] * 2 + status[i - 1][1] ) % MOD;
		status[i][4] = (status[i - 1][4] * 2 + status[i - 1][1] + status[i - 1][2]) % MOD;
		status[i][5] = (status[i - 1][5] * 2 + status[i - 1][3] + status[i - 1][4]) % MOD;
	}
	cout << status[n][5] << endl;
	return 0;
}

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