多重背包

题目

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本算法

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

复杂度是O(V*Σn[i])。

转化为01背包问题

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

HDU 2191

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

急！灾区的食物依然短缺！
为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。
请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？

后记：
人生是一个充满了变数的生命过程，天灾、人祸、病痛是我们生命历程中不可预知的威胁。
月有阴晴圆缺，人有旦夕祸福，未来对于我们而言是一个未知数。那么，我们要做的就应该是珍惜现在，感恩生活——
感谢父母，他们给予我们生命，抚养我们成人；
感谢老师，他们授给我们知识，教我们做人
感谢朋友，他们让我们感受到世界的温暖；
感谢对手，他们令我们不断进取、努力。 
同样，我们也要感谢痛苦与艰辛带给我们的财富～

 

Input

输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。

 

Output

对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

  

   1
8 2
2 100 4
4 100 2
  

 

Sample Output

  

   400
  

 

Author

lcy

 

Source

2008-06-18《 ACM程序设计》期末考试——四川加油！中国加油！

思路：有两种方式，一种将n件相同价值的物品看做n件不同物品，用01背包来做，（只不过把weight 和value的数组大小开大一点），

另一种是用二维数组来解决，对于f[i][0, 1, 2, 3, 4 .......v],每一种都有放0,1,2......k种策略（假设有k件物品），注意第一次放一件时，要与f[i-1][v]比较，如果放进去了一件，当放第二件时，要与f[i][v]（放进去一件的价值）比较（很重要），当此时容量j，j-k*weight[i] < 0时，直接退出就可以。

代码：

第一种：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[105];
int weight[4005];
int value[4005];
int n, m;
int flag;
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a: b;
}

void judge() {
    int i, j;
    for(i = 1; i <= flag-1; i++)
        for(j = n; j >= weight[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
        }
    printf("%d\n", dp[n]);
}

int main() {
    int t, i, p, h, c, w, money, count;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        flag = 1;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%d%d%d", &money, &w, &count);
            while(count--) {
                weight[flag] = money;
                value[flag] = w;
                flag++;
            }
        }
        judge();
    }
}

第二种：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[105][105];
int n, m;
typedef struct T {
    int weight;
    int value;
    int count;
}Node;
Node node[105];

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a: b;
}

void judge() {
    int i, j, k;
    for(i = 1; i <= m; i++)
        for(j = 0; j <= n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(j >= node[i].weight) {
                for(k = 0; k <= node[i].count; k++) {
                    if(j - k*node[i].weight < 0)
                        break;
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j - k*node[i].weight] + k*node[i].value);
                }
            }
        }
    printf("%d\n", dp[m][n]);
}

int main() {
    int t, i;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        memset(dp, 0, sizeof(int)*105*105);
        for(i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%d%d%d", &node[i].weight, &node[i].value, &node[i].count);
        }
        judge();
    }
}