hdu 5781 ATM...(概率&&DP)

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本文解析了HDU5781题目，介绍了一种利用动态规划求解的方法。通过定义状态dp[i][k]表示存款在[0,i]区间内且剩余k次警告机会时的期望值，推导出状态转移方程，并给出AC代码实现。

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hdu 5781 传送门

题意

已知账户里最多有n元，有一个取款下限，高于可以将钱取走，低于的话会被警告一次。警告次数超过m次时，将会被当做小偷。。。
n,m≤2×1e3.

题解

比赛时，没有意识到是一道DP题，一直在二分的角度想题。还是题目理解的不够深刻。下面给个数学期望的定义吧。

数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。–出自百度百科

看了很多的博文，都只是给出了DP。看到nuonuo_orz的博客的时候，才恍然大悟。也不得不佩服作者。

dp[i][k]代表已知存款在[0,i]范围内，还有k次警告次数时的期望值。设j为下次的取款数，有两种情况：

如果实际存款数低于这个j的话，问题就退化成了求dp[j-1][k-1]的值
如果实际存款数高于或等于这个j的话，问题就退化成了求dp[i-j][k]的值（此时把范围确定到了[j,i]，等价于把范围确定到了[0,i-j]）

求期望，就是要先求所有可能情况，然后取平均不是吗？存款范围在[0,i]的话，那么存款可以是[0,i]内的任意一个数，当存款是[0,j]时，期望就取决于dp[j-1][k-1]，当存款是[j+1,i]的时候，期望就取决于dp[i-j][k]，因此状态转移方程是：dp[i][k]=min（dp[i][k],（j*dp[j-1][k-1]+（i-j+1）*dp[i-j][k]）/（i+1）+1）。
考虑到K最大只有2000，不计警告次数的话，采用二分策略，也只要11次二分就ok。所以W超过11后，对答案就不会有影响。

边界情况：当存款范围是[0,0]的时候，不管警告次数，答案都是0。

AC代码

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <string>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <limits>
#include <vector>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <fstream>
#include <numeric>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
const int MAXN=2000+5;  
const double EPS=1e-8;  
double dp[MAXN][16];  
bool vis[MAXN][16]; 
int main()  
{  
    for(int i=0;i<MAXN;++i){  
        for(int j=0;j<16;++j)  
            dp[i][j]=1e12;  
    }  
    for(int i=0;i<16;++i) dp[0][i]=0;  
    for(int i=1;i<=2000;++i){  
        for(int j=1;j<=i;++j){  
            for(int k=1;k<=15;++k){  
                dp[i][k]=min(dp[i][k],(j*dp[j-1][k-1]+(i-j+1)*dp[i-j][k])/(i+1)+1);  
            }  
        }  
    }   
    int k,w;  
    while(~scanf("%d%d",&k,&w)){  
        printf("%.6f\n",dp[k][min(w,11)]);
    }  
    return 0;  
}