博弈论套路开始的地方（NIM游戏和Sprague-Grundy函数）

最新推荐文章于 2023-05-31 19:37:05 发布

原创

最新推荐文章于 2023-05-31 19:37:05 发布 · 2.6k 阅读

5 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#博弈论-NIM

Introduction

最近在做多校题的时候，遇到了博弈论的题，自己推了老半天，还是没有找到必胜条件，于是下定决心开始学一下博弈论的套路。

NIM游戏

Nim游戏是一种两个人玩的回合制数学战略游戏，它之所以经典是因为Sprague和Grundy独立地证明了一切Impartial Combinatorial Games都可以化规到Nim游戏，这一类游戏都具有以下的特点：

玩家只有两个人
游戏给定了状态之间转移的规则
玩家的状态有限
.每个人轮流移动
有明确的状态结束情况

游戏状态定义

P-position代表会使上一个移动的玩家赢的状态。
N-position代表会使当前正在移动的玩家赢的状态。

游戏状态间转移的规则

结局状态为P-position状态
能到达P-position状态的状态的都是N-position状态
只能到达N-position状态的是P-position状态

还是先举个例子来说明这个问题吧

两人从一堆硬币中轮流取硬币，每次取的数量硬币要在给定的序列a1,a2,…,ai中，没法继续取硬币的玩家输掉这场游戏。

这里我们先假定给出的序列为{1,2,4}

首先呢，硬币数为0的时候为P-position。这时我肯定输。同理 3 的状态也是P-position。

然后能让我赢的情况就是让对手走到P-position的位置上，那么我的位置就是N-position。这个例子中的1,2,4都是N-position。

那么，在游戏中，我一直都在想方设法的走到N-position的位置上，可是万一

最低0.47元/天解锁文章

200万优质内容无限畅学

确定要放弃本次机会？

福利倒计时

: :

立减 ¥

普通VIP年卡可用

立即使用

隐形的稻草人哦

关注关注

5
点赞
踩
5

收藏

觉得还不错? 一键收藏
3
评论
分享

复制链接

分享到 QQ

分享到新浪微博

扫一扫
举报

举报

专栏目录

【数论】博弈论 —— nim游戏

gzkeylucky的博客

08-10

1703

学习博弈论nim游戏（先手后手）问题

[转]博弈论（一）：Nim游戏

weixin_33936401的博客

04-29

309

重点结论：对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示位异或(xor)运算。Nim游戏是博弈论中最经典的模型（之一？），它又有着十分简单的规则和无比优美的结论，由这个游戏开始了解博弈论恐怕是最合适不过了。 Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Co...

3 条评论您还未登录，请先登录后发表或查看评论

Graph Games 以及 The Sprague-Grundy Function(S-G函数)

Abner

03-11

1426

1 Games Played on Directed Graphs. Definition. Adirected graph,G,is a pair (X, F) where X is a nonempty set of vertices (positions) and F is a function that gives for each x∈X a subset of X,

博弈论入门之nim游戏

weixin_33819479的博客

02-22

302

更好的阅读体验点这里 nim游戏 nim游戏有两个顶尖聪明的人在玩游戏，游戏规则是这样的：有\(n\)堆石子，两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)，没法拿的人失败。问谁会胜利 nim游戏是巴什博奕的升级版(不懂巴什博奕的可以看这里) 它不再是简单的一个状态，因此分析起来也棘手许多如果说巴什博奕仅仅博弈论的一个引子的话， nim游戏就差不多算是真正的入门了博弈分析面对新...

【博弈论】Nim游戏：台阶、集合、拆分（AcWing）

karshey的博客

03-16

5021

AcWing 891. Nim游戏参考： AcWing 891. Nim游戏 AcWing 891. Nim游戏题解：文字部分来自这里异或的含义公平组合游戏若一个游戏满足：由两名玩家交替行动在游戏进行的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪位玩家无关不能行动的玩家判负则称该游戏为一个公平组合游戏。尼姆游戏（NIM）属于公平组合游戏，但常见的棋类游戏，比如围棋就不是公平组合游戏，因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较负责，不满足条件2和3。必胜状态和必败状态在解决这个问

Sprague-Grundy函数与博弈论：解析游戏策略

"这篇资料主要介绍了博弈算法中的SG函数，以及如何通过该函数来判断图游戏的胜负情况。此外，还以Nim问题为例，...通过深入理解SG函数和Nim问题，我们可以更好地掌握博弈论中的策略分析，从而在实际问题中找到最优解。

Sprague-Grundy函数与博弈算法解析

SG函数，全称为Sprague-Grundy函数，是博弈论中一个重要的概念，用于判断在有向无环图（DAG）游戏模型下，某个局面是否对先手有利。 SG函数的定义基于游戏的局面和可能的转换。给定一个有向无环图G=(V,E)，其中每个...

组合游戏分析：必胜策略与Sprague-Grundy函数

NimSim：探索Sprague-Grundy定理下的nim游戏策略

Sprague-Grundy

Amon

05-21

1965

学习博弈论呢，不得不接触到SG函数，在很久很久以前我曾经坑过SG函数，别人都过了，可是自己不懂==，就跪了。今天我们来深入的来学习下SG函数 http://hihocoder.com/contest/hiho46/problem/1 HIHOCODER的讲解还是非常详细的。对于ICG（公平组合游戏选`）游戏，我们可以将游戏中每一个可能发生的局面表示为一个点。并且若存在局面i和局面j

博弈论——Nim游戏

m0_52380556的博客

03-10

4457

一个思考给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。相信acmer们都见过Alice和Bob这两个名字，两个大神经常会用聪明的智慧来博弈。他们总是会采取最优原则，游戏走的每一步，都不是为了走而走，而是为了掐死对手，这就是著名的博弈论。他属于公平组合游戏 博弈论的定理基本上博弈论的最终推导都离不开这几个定理，十分的离散数学！定理有三： 1、没有后继状态的状态是必败状态。 2、

【刷题】数学知识——博弈论：NIM游戏

qq_42581685的博客

07-11

2493

博弈论的游戏主要分为：公平组合游戏：游戏有两个人参与，二者轮流做出决策，双方均知道游戏的完整信息；任意一个游戏者在某一确定状态可以作出的决策集合只与当前的状态有关，而与游戏者无关；游戏中的同一个状态不可能多次抵达，游戏以玩家无法行动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束。非公平组合游戏在非公平组合游戏中，游戏者在某一确定状态可以做出的决策集合与游戏者有关。大部分的棋类游戏都不是公平组合游戏，如国际象棋、中国象棋、围棋、五子棋等（因为双方都不能使用对方的棋子）。反常游戏胜者为第一个无法行动的玩家

[转]博弈论（二）：Sprague-Grundy函数

weixin_33694172的博客

04-29

370

上一期的文章里我们仔细研究了Nim游戏，并且了解了找出必胜策略的方法。但如果把Nim的规则略加改变，你还能很快找出必胜策略吗？比如说：有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……这时看上去问题复杂了很多，但相信你如果掌握了本节的内容，类似的千变万化的问题都是不成问题的。现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏：给定一个...

nim博弈论

qq_41755258的博客

11-04

177

具体的证明还是有一点没有看懂 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define INF 0x3f3f3f const int maxn=1000+10; int n,a[maxn]; int main() { int T; cin >> T; while(T--)...

nim 博弈论

timeruler的博客

03-17

397

几种nim游戏1.排石头游戏2.巴什博奕（Bash Game）3.威佐夫博奕（Wythoff Game）4.nim堆 1.排石头游戏给你一排n个石头，每次只能取一个或两个，求必胜策略先讨论石头是奇数还是偶数，奇数就从中间拿一个，然后，对手拿几个，你就从与它对应的位置上拿几个。偶数的话就从中间拿2个。 2.巴什博奕（Bash Game）只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少...

Nim博弈（博弈论）

weixin_45113721的博客

06-29

1594

1.https://www.acwing.com/problem/content/893/ 题目：给定n堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。思路：必胜状态(a1^ a2 …^an!=0)：可以走到某一个必败状态必败状态(a1^ a2 …^an==0)：走不到任何一个必败状态证明(参考算法进阶指南)： (a1^ a2 …^an!=0)可以走到某一个必败状态 (a1^ a

博弈论(nim)

qq_44797733的博客

10-29

171

sg函数：每堆石子异或操作最终的状态肯定0^0^0^0 ......^0 = 0 假设每堆石子的数量为xi x1^x2^x3^x4....^xn 这里记为f(x) f(x)不为0则先手必胜 f(x) == 0先手必败当f(x) != 0，先手可以走一步到达一种必败的状态0然后循环后手必败当f(x) == 0时同理 code： #include<cstdio> using namespace std; int main() { ...

Nim博弈

qq_45929432的博客

01-02

704

目前有任意堆石子，每堆石子个数也是任意的，双方轮流从中取出石子，规则如下： ①每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子； ②如果谁取到最后一枚石子就胜。设（a,b,c,d…）为每堆石子的个数（石子个数>=0），甲乙两人游戏，且甲先行。若起始态a⊕b⊕c⊕… = 0，则该状态为必败态，反之为必胜态。 Nim博弈结论证明：明显当a1=a2=……=an = 0的时候成立，（0）为必败态。当（a1，a2……an）不全等于0的时候，有2种情况： ① k = a1⊕a2⊕

博弈论（Nim游戏)

ylh的博客

05-31

2264

题目要求：给你 n 堆石子，两个人轮流取石子，每次选择一堆，可以取出这一堆的任何数量的石子，直到某个人无法再取出任何石子，则另一个人就赢了。因此我们就可以创造先手的必胜态，则对于后手的来说一定是必输态。阶上去，直到最后台阶为0时，无法再移动，问能否先手必胜？，则可以证明，一个必胜态一定可以转换得到一个必输态。第一个人取第一堆，第二个人取第二堆，则第一个人必输。则通过上面的描述，一个必胜态一定可以转换为必输态。的位置，则最后就可以把一个必胜态转变为必输态。的情况，则就是甲先手赢的选择的情况。

博弈论（Nim游戏）

zeros的博客

04-18

458

有N堆石子。A B两个人轮流拿，A先拿。每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明，拿石子的过程中不会出现失误。给出N及每堆石子的数量，问最后谁能赢得比赛。例如：3堆石子，每堆1颗。A拿1颗，B拿1颗，此时还剩1堆，所以A可以拿到最后1颗石子。输入样例 3 1 1 1 输出样例 A 这是不是很复杂，首先我们考虑数据小的情况： 1.只有一堆石子时，除非没有石子，否则先手一把抓完即可； 2.有两堆石子时，后手只需要跟随先手的动作即可，但是相等的