清华大学马昱春老师《组合数学》第二周作业题解

课程链接：《组合数学》马昱春副教授

H1

小于10000的含1的正整数有___个?

分析：

首先确定可选范围，小于10000的数，且要求正整数，所以从1~9999中选择（0非正非负）。

那么“”含1“这个条件怎么处理呢？若是直接计算含1的数字会非常麻烦，所以我们不妨采用减法法则，即先计算出不含1的数的个数，再用整体减去这一部分就是答案了

接下来计算1~9999中不含1的正整数：

首先从一位数考虑，共有2~9，一共8种取值

两位数：十位数的取值范围是2~9，个位数是0、2~9，一共8*9=72种取值

三位数：百位数可取2~9，十位、个位数可取0、2~9，一共8*9*9=648种取值

四位数：千位数可取2~9，百位、十位、个位数可取0、2~9，一共8*9*9*9=5832种取值

所以答案是共有9999-5832-648-72-8=3439个

小于10000的含0的正整数有___个？

分析：

仿照上一题的思路，我们计算1~9999之间不含0的正整数的个数：

一位数：可取1~9，一共9种取值

两位数：十位、个位可取1~9，一共 9 * 9 = 81 种取值

三位数：百位、十位、个位可取1~9，一共 9 * 9 * 9 = 729 种取值

四位数：千位、百位、十位、个位可取1~9，一共 9 * 9 * 9 * 9 = 6561 种取值

所以答案是共有 9999 - 6561 - 729 - 81 - 9 =