4.1 最大子数组问题(分治法)-NlogN

A[low..high]的任何子数组A[i,j]所处的位置必定是一下三种情况之一：

• 完全位于子数组A[low..mid]中，low< =i<=j<=mid
• 完全位于子数组A[mid+1..high]中，mid < i< =j< =high
• 跨越了中点，low< =i< =mid < j< =high

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思路：

1. 递归地求解A[low..mid]和A[mid+1..high]的最大子数组
2. 寻找跨越中点的最大子数组
3. 选取这三中情况中的最大值

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1.寻找跨越中点的最大子数组

/***
     * 
     * @param A     数组
     * @param low   下界
     * @param mid   中点
     * @param high  上界
     * @return      最大子数组(跨越mid)的下标范围和最大子数组的和
     */
    public static int[] findMaxCrossingSubArray
    (
            int[] A,
            int low,
            int mid,
            int high
    )
    {
        //找出左半部的最大子数组，必须包括A[mid]
        int left_sum=0;    //目前找到的最大和
        int sum=0;         //A[i..mid]的和
        int max_left=mid;  //目前找到的最大和的下标
        for (int i = mid; i >=low; i--) {
            sum=sum+A[i];
            if (sum>left_sum) {
                left_sum=sum;
                max_left=i;
            }
        }
        //找出右半部的最大子数组，必须包括A[mid]
        int right_sum=0;    //目前找到的最大和      
        sum=0;              //A[mid+1..i]的和
        int max_right=mid;  //目前找到的最大和的下标
        for (int j = mid+1; j <= high; j++) {
            sum=sum+A[j];
            if (sum>right_sum) {
                right_sum=sum;
                max_right=j;
            }
        }
        //返回结果
        return new int[]{max_left,max_right,left_sum+right_sum};
    }

2.递归地求解A[low..mid]和A[mid+1..high]的最大子数组，选取这三中情况中的最大值

public static int[] findMaximumSubArray(int[] A,int low,int high)
{
    //只有一个元素
    if (high==low) {
        return new int[]{low,high,A[low]};
    }
    else {
        int mid=(low+high)/2;
        int[] left_result =findMaximumSubArray(A,low,mid);
        int[] right_result=findMaximumSubArray(A,mid+1,high);
        int[] mid_result  =findMaxCrossingSubArray(A,low,mid,high);
        if(left_result[2]>=right_result[2]
                &&left_result[2]>=mid_result[2]) 
        {
            return left_result;
        }else if (right_result[2]>=left_result[2]
                &&right_result[2]>=mid_result[2]) 
        {
            return right_result;
        }else {
            return mid_result;
        }       
    }
}