理解平衡二叉树、B树、B+树、B*树

最新推荐文章于 2025-02-11 09:58:50 发布

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分类专栏：数据结构文章标签：二叉树 B树

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本文深入解析平衡二叉树、B树、B+树及B*树的概念、特点及查询、插入、删除流程，揭示数据结构如何优化磁盘空间利用，提升数据查找速度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/pengzhisen123/article/details/79927377

1.平衡二叉树

概念
平衡二叉树是基于二分法提高数据的查询速度的数据结构。
详解

首先，平衡二叉树是二叉树，所以非叶子节点只能允许最多两个子节点存在，且每一个非叶子节点数据分布规则为左边的子节点小当前节点的值，右边的子节点大于当前节点的值(这里值是基于自己的算法规则而定的，比如hash值)；
其次，他拥有平衡的概念，因为平衡二叉树查询性能和树的层级（h高度）成反比，h值越小查询越快、为了保证树的结构左右两端数据大致平衡降低二叉树的查询难度一般会采用一种算法机制实现节点数据结构的平衡，实现了这种算法的有比如AVL、Treap、红黑树，使用平衡二叉树能保证数据的左右两边的节点层级相差不会大于1.，通过这样避免树形结构由于删除增加变成线性链表影响查询效率，保证数据平衡的情况下查找数据的速度近于二分法查找；
特点
（1）非叶子节点最多拥有两个子节点；
（2）非叶子节值大于左边子节点、小于右边子节点；
（3）树的左右两边的层级数相差不会大于1;
（4）没有值相等重复的节点;

2.B树(B-tree)

概念
B树和平衡二叉树稍有不同的是B树属于多叉树又名平衡多路查找树（查找路径不只两个）
详解
1. B树的查询流程：
（1）获取根节点的关键字进行比较，当前根节点关键字为M，E<M（26个字母顺序），所以往找到指向左边的子节点（二分法规则，左小右大，左边放小于当前节点值的子节点、右边放大于当前节点值的子节点）；
（2）拿到关键字D和G，D<E<G 所以直接找到D和G中间的节点；
（3）拿到E和F，因为E=E 所以直接返回关键字和指针信息（如果树结构里面没有包含所要查找的节点则返回null）；
B树的插入节点流程
定义一个5阶树（平衡5路查找树;），现在我们要把3、8、31、11、23、29、50、28 这些数字构建出一个5阶树出来;
遵循规则：
（1）节点拆分规则：当前是要组成一个5路查找树，那么此时m=5,关键字数必须<=5-1（这里关键字数>4就要进行节点拆分）；
（2）排序规则：满足节点本身比左边节点大，比右边节点小的排序规则;

先插入 3、8、31、11
注意：父节最多拥有M-1个关键字。
在这里插入图片描述
再插入23、29

注意：当一个节点的关键字达到M-1，就不能在这个节点插入新关键字，而需要将插入后中间值的关键字 (升级成/合并到) 父节点。

再插入50、28
在这里插入图片描述
注意：升级关键字同时，记得要拆分被升级关键字左右的同级别关键字，成为两个独立节点。

B树的删除节点流程
（1）节点合并规则：当前是要组成一个5路查找树，那么此时m=5,关键字数必须大于等于ceil（5/2）-1（这里关键字数<2就要进行节点合并）；
（2）满足节点本身比左边节点大，比右边节点小的排序规则;
（3）关键字数小于二时先从子节点取，子节点没有符合条件时就向向父节点取，取中间值往父节点放；
在这里插入图片描述
注意：当取父节点的关键字作为补充关键字时，父节点的关键字下如果挂着非空路，在补充后，非空路需要升级到父节点去。

特点
（1）排序方式：所有节点关键字是按递增次序排列，并遵循左小右大原则；
（2）子节点数：非叶节点的子节点数>1，且<=M ，且M>=2，空树除外（注：M阶代表一个树节点最多有多少个查找路径，M=M路,当M=2则是2叉树,M=3则是3叉）；
（3）关键字数：枝节点的关键字数量大于等于ceil(m/2)-1个且小于等于M-1个（注：ceil()是个朝正无穷方向取整的函数如ceil(1.1)结果为2);
（4）所有叶子节点均在同一层、叶子节点除了包含了关键字和关键字记录的指针外也有指向其子节点的指针只不过其指针地址都为null对应下图最后一层节点的空格子;

3.B+树(B-tree)

概念
B+树是B树的一个升级版，相对于B树来说B+树更充分的利用了节点的空间，让查询速度更加稳定，其速度完全接近于二分法查找。为什么说B+树查找的效率要比B树更高、更稳定；我们先看看两者的区别.
详解
（1）B+跟B树不同B+树的非叶子节点不保存关键字记录的指针，只进行数据索引，这样使得B+树每个非叶子节点所能保存的关键字大大增加；
（2）B+树叶子节点保存了父节点的所有关键字记录的指针，所有数据地址必须要到叶子节点才能获取到。所以每次数据查询的次数都一样；
（3）B+树叶子节点的关键字从小到大有序排列，左边结尾数据都会保存右边节点开始数据的指针。
（4）非叶子节点的子节点数=关键字数（来源百度百科）（根据各种资料这里有两种算法的实现方式，另一种为非叶节点的关键字数=子节点数-1（来源维基百科)，虽然他们数据排列结构不一样，但其原理还是一样的Mysql 的B+树是用第一种方式实现）;
特点
1、B+树的层级更少：相较于B树B+每个非叶子节点存储的关键字数更多，树的层级更少所以查询数据更快；
2、B+树查询速度更稳定：B+所有关键字数据地址都存在叶子节点上，所以每次查找的次数都相同所以查询速度要比B树更稳定;
3、B+树天然具备排序功能：B+树所有的叶子节点数据构成了一个有序链表，在查询大小区间的数据时候更方便，数据紧密性很高，缓存的命中率也会比B树高。
4、B+树全节点遍历更快：B+树遍历整棵树只需要遍历所有的叶子节点即可，，而不需要像B树一样需要对每一层进行遍历，这有利于数据库做全表扫描。

B树相对于B+树的优点是，如果经常访问的数据离根节点很近，而B树的非叶子节点本身存有关键字其数据的地址，所以这种数据检索的时候会要比B+树快。

4.B*树(B-tree)

概念
B+树是B树的一个升级版，相对于B树来说B+树更充分的利用了节点的空间，让查询速度更加稳定，其速度完全接近于二分法查找。为什么说B+树查找的效率要比B树更高、更稳定；我们先看看两者的区别
详解
（1）首先是关键字个数限制问题，B+树初始化的关键字初始化个数是ceil(m/2)，b树的**初始化个数为（ceil(2/3m)）。
（2）B+树节点满时就会分裂，而B*树节点满时会检查兄弟节点是否满（因为每个节点都有指向兄弟的指针**），如果兄弟节点未满则向兄弟节点转移关键字，如果兄弟节点已满，则从当前节点和兄弟节点各拿出1/3的数据创建一个新的节点出来；
特点
在B+树的基础上因其初始化的容量变大，使得节点空间使用率更高，而又存有兄弟节点的指针，可以向兄弟节点转移关键字的特性使得B*树额分解次数变得更少