7_22_F题 Recurrences(矩阵快速幂)

最新推荐文章于 2020-01-11 11:38:21 发布

Shufu_C

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定递推问题的方法，适用于当递推式中的项数超过一定阈值的情况。文章给出了详细的转移矩阵构造方式及其实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

7_22_F题 Recurrences(矩阵快速幂)

题意

当n > d 时有 $f(n) = \sum_{i = 1 }^ n a_i \cdot f(n - i)$
给出 $n,a_1\text{~}a_d,f[1]\text{~}f[n]$ ,求 $f[n]\%mod$

思路

很明显的矩阵快速幂，转移矩阵如下

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 1 10 ⋮ 0 a 2 01 ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots a d - 1 00 ⋮ 1 a d 00 ⋮ 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots &a_{d-1} &a_d\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
然后直接矩阵快速幂就行了。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
const int maxn = 16;
typedef long long ll;
ll mod,d;
ll a[maxn];
ll f[maxn];
struct Mat {
    ll maze[maxn][maxn];
    Mat(){
        memset(maze,0,sizeof maze);
    }
};

int choose;

Mat Mat_mul(const Mat& a, const Mat& b){
    Mat res;
    for(int i = 0; i < d; i++)
        for(int j = 0; j < d; j++){
            res.maze[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < d; k++) {
                res.maze[i][j] = (res.maze[i][j] + (a.maze[i][k] * b.maze[k][j])%mod) % mod;
            }
        }
    return res;
}

Mat Mat_Qpow(int n){
    Mat base,res;
    for(int i = 0 ; i < maxn ; i ++)
        base.maze[0][i] = a[i]%mod;

    for(int i = 1 ; i < maxn ; i ++)
        base.maze[i][i-1] = 1;

    for(int i = 0 ; i < maxn ; i ++)
        res.maze[i][i] = 1;
    while(n > 0){
        if(n & 1) {
            res = Mat_mul(res, base);
        }
        base = Mat_mul(base, base);
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main(){
    ll n;
    while(~scanf("%lld %lld %lld", &d, &n, &mod),mod){
        memset(a,0,sizeof a);
        for(int i = 0 ; i < d ; i ++)
            scanf("%lld",a + i);
        for(int i = 0 ; i < d ; i ++)
            scanf("%lld",f + i);
        auto ans= Mat_Qpow(n-d);
        ll sum = 0;
        for(int i = 0 ; i < d ; i ++)
            sum = (sum + ans.maze[0][i]*f[d-i-1])%mod;

        if(n <= d) sum = f[n-1]%mod;
        printf("%lld\n", sum);
    }
    return 0;
}