位运算与余数

背景:在C风格语言中（比如C，C++，C# (注：排名按出生日期 ^_^)），取余运算符定义为“%”。但在很久很久以前，CPU采用如下方法计算余数（注意，该方法只对2的N次方数系有效）：

X & (2^N - 1)

 

看到这个算法，我感到比较好奇，为什么这么做呢？

 

首先从求余数谈起，我们知道，计算机中存储的方式是0和1序列：

1 0001 2^0

2 0010 2^1

3 0011 2^1 + 1

4 0100 2^2

当我们把这些数字序列左移一位的时候... 是的，你答对了，相当与数字扩大为原来的2倍，同理可知右移一位就是缩小为原来的1/2。

 

那么余数在哪里？被移掉的哪些位便是余数，这是无数前人的证明结果~可以自己拿笔和纸画一画就明白了。

 

那么，说了这么多，为什么一个求余的%被替换为：X & (2^N - 1)？

举例:

9 的二进制就是1001

8 的二进制就是1000

显然余数是1，按照公式这么做：

把8的二进制1000换为8-1也就是7，7的二进制表示为：0111

1001&0111 = 0001

答案为1与我们想的结果一致。

是巧合么？我们把9换成13，过程你亲自来一遍，结果在你没算错的情况下必然和我的一样：0101

 

但是注意，这种方法只是适合与求一个数除以二的N次冥才正确。

先说原理再说疑问：

原理：

由于除数是2^N （N为0起始递增的整数），所以隐藏条件就是，除数的2进制真身只能是如下的方式展现：

0001，0010，0100，1000.。。。。。

没看出来？那我们继续：

10000，100000，1000000.。。。。

明白了吧，当