5、小波与多尺度模型：原理、应用与发展

小波与多尺度模型：原理、应用与发展

1. 小波方法与贝叶斯小波分析应用

1.1 小波系数与函数估计

小波系数在不同分辨率下呈现出不同的特征。从相关图示（如图 5.4）可以看到，分辨率从顶部到底部逐渐增加。其中，后验均值是一种收缩估计器，而后验中位数是一种阈值估计器。图 5.4 分别展示了经验小波系数、后验均值和后验中位数的情况。基于这些小波系数，还可以对多普勒函数进行估计，图 5.5 呈现了基于小波系数的后验均值和后验中位数的多普勒函数估计结果。

1.2 贝叶斯小波分析的其他统计应用

贝叶斯小波分析在多个不同领域的众多问题中都取得了成功应用，以下是一些具体的应用领域：
|应用领域|具体应用|
| ---- | ---- |
|时间序列|ARFIMA(p,d,q)参数估计、长记忆参数的多个变化点检测、谱密度估计|
|生物信息学|从蛋白质中提取结构特征|
|其他|湍流分析、网络流量分析、功能磁共振成像数据分析、单指标模型中链接函数的估计、分层功能分析、光谱校准|

2. 显式多尺度模型概述

2.1 多尺度建模问题类型

多尺度建模在各种应用中广泛出现，主要有以下三种类型的问题可以在多尺度框架下进行有效建模：
- 类型一 ：数据在不同空间尺度上被观测，模型用于整合不同尺度的信息。
- 类型二 ：数据仅在最精细尺度上被观测，模型用于在该尺度上诱导特定过程。
- 类型三 ：观测数据与潜在的多尺度过程存在非局部