4、小波方法：原理、应用与贝叶斯回归

小波方法：原理、应用与贝叶斯回归

一、小波简介

小波是一种著名的多尺度技术，在20世纪90年代和21世纪初被广泛应用于统计领域。它是强大的数学工具，在图像压缩和信号分析中取得了成功。小波可以将信号和图像分解为在不同分辨率水平上空间局部化的分量，即小波系数。

当信号存在随机误差时，贝叶斯小波分析非常有用。此时，观测值的小波变换会得到有噪声的经验小波系数。在贝叶斯分析中，通过对小波系数使用联合先验分布和合适的损失函数，可以得到一个贝叶斯估计，将经验小波系数向零收缩或阈值化，再通过逆小波变换得到无噪声的信号估计。

与傅里叶分析将信号分解为频率分量不同，小波分析将信号分解为时间 - 尺度（或时间 - 频率）分量。小波函数是由所谓的母小波通过平移和缩放得到的。母小波具有两个重要性质：
1. 可容许性条件 ：母小波的积分等于零，这意味着它是一个波。
2. 正则性条件 ：母小波具有消失矩，因此它是局部化良好的。

具有这些性质的函数就是小波。

二、背景知识

（一）适用函数

小波可用于分析属于有限能量函数集合 (L^2(R)) 的函数 (f(t))，即 (\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt < +\infty)。

（二）内积和范数

在小波变换的定义中，会用到函数之间的内积 (\langle f, g\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)dt)，其中 (g(t)) 是 (g(t)) 的复共轭