4、在CSDP框架中证明终止性

在CSDP框架中证明终止性

1. 预备知识

在深入探讨之前，我们需要了解一些基本概念和符号。
- 位置表示 ：位置 $p, q$ 等用正自然数链表示，用于定位项 $t$ 的子项。例如，给定位置 $p$ 和 $q$，它们的连接表示为 $p.q$。根位置用 $\Lambda$ 表示，项 $t$ 的位置集合记为 $Pos(t)$，非变量符号 $f$ 在项 $t$ 中的位置集合记为 $Pos_F(t)$。
- 子项操作 ：项 $t$ 在位置 $p$ 的子项记为 $t| p$，将项 $t$ 在位置 $p$ 的子项替换为 $s$ 后的项记为 $t[s]_p$。若存在 $p \in Pos(t)$ 使得 $s = t|_p$，则记为 $t \unrhd s$；若 $t \unrhd s$ 且 $t \neq s$，则记为 $t \rhd s$。
- 替换和上下文 ：替换 $\sigma$ 是从变量集合 $X$ 到由签名 $F$ 中的符号和变量 $X$ 构建的项集合 $T(F, X)$ 的映射。上下文 $C$ 是带有“洞” $\square$ 的项。
- 重写规则和TRS ：重写规则是有序对 $(\ell, r)$，记为 $\ell \to r$，其中 $\ell, r \in T(F, X)$，$\ell \notin X$ 且 $Var(r) \subseteq Var(\ell)$。TRS（项重写系统）是对 $R = (F, R)$，其中 $F$ 是签名，$R$ 是重写规则集合。我们将 $F$ 划分为构造符号集合 $C$ 和定义符号集合