23、ROBDD 中最小集与最大集的计算方法解析

ROBDD 中最小集与最大集的计算方法解析

在布尔函数的决策图表示中，零抑制二叉决策图（ZBDD）是有序二叉决策图（OBDD）的一种变体。从布尔函数的原始决策树获取 ZBDD 时，第一步简化规则是合并等价节点，这与简化 ROBDD （归约有序二叉决策图）或 QOBDD 类似。但在第二步简化规则上，ROBDD 和 ZBDD 有所不同。ROBDD 会移除所有冗余节点，而 ZBDD 会移除那些 1 - 边指向 0 - 汇点的节点。

有研究展示了如何使用 ZBDD 实现重要的集合论算法，并开发了公共领域的 ZBDD 库 EXTRA。该库包含两个操作： Extra_zddMinimal 用于从 2^X 的子集 A 的 ZBDD 表示计算出由 A 的最小集组成的子集 min(A) 的 ZBDD 表示； Extra_zddMaximal 则用于计算由 A 的最大集组成的子集 max(A) 的 ZBDD 表示。并且，这些操作可以迁移到 ROBDD 上，并在常见条件下进一步优化为更快的版本。

最小集的计算

假设 2^X 的子集 A 由 ROBDD r 表示，通过函数 Minsets(1, r) 可以计算出 2^X 的子集 min(A) 的 ROBDD 表示。该函数的输入是标签 i（i 属于 X，包括汇点的特殊标签 n + 1）和 ROBDD r 中的节点 v，且满足 i ≤ lab(v)。为简化正确性证明，代码中没有使用 BDD 算法常用的计算表，这可能导致大量相同的递归调用和指数级的运行时间。不过，在 Minsets 中插入一个计算表来存储已计算的结果并不困难，这样初始调用 <