6、布尔方程求解组合问题

布尔方程求解组合问题

组合问题在许多领域都有广泛的应用，而布尔方程是解决这类问题的有效工具。本文将详细介绍如何使用布尔方程来解决组合问题，包括布尔方程的基本概念、求解方法以及在实际问题中的应用。

一、布尔方程基础

1.1 布尔函数与布尔方程定义

• 布尔函数 ：一个 $n$ 变量的布尔函数 $f$ 是一个唯一的映射 $f(x) : B^n \Rightarrow B$，它可以用函数表或由布尔变量通过布尔运算（如非 NOT、与 AND、或 OR、异或 XOR、同或 XAND、蕴含 IF - THEN）连接而成的表达式来表示。
• 布尔方程 ：设 $x = (x_1, \ldots, x_n)$，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个布尔函数，则 $f(x) = g(x)$ 是一个布尔方程。其解是一个布尔向量 $b_j$ 的集合 $S$，对于该集合中的向量，要么 $f(b_j) = 0$ 且 $g(b_j) = 0$，要么 $f(b_j) = 1$ 且 $g(b_j) = 1$。

1.2 布尔方程求解算法

一个简单的求解布尔方程的算法是将所有 $2^n$ 个布尔向量 $b_j$ 依次代入方程，计算 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的函数值，并在 $0 = 0$ 或 $1 = 1$ 的情况下将 $b_j$ 分配到解集合 $S$ 中。然而，当布尔变量数量较多时，由于布尔向量数量呈指数级增长，该算法的实际执行会失败。为了解决存储大量布尔向量的问题，可以使用三元向量。

1.3 三元向量与三元向量列表 </