5、布尔网络的向量空间方法：原理、算法与实验验证

布尔网络的向量空间方法：原理、算法与实验验证

1. 开关网络验证

在电子设计自动化（EDA）任务中，常常需要根据网络特性和输出响应来确定输入激励向量，这就是所谓的验证问题。利用向量空间模型进行网络验证时，已知转移矩阵 (T) 和输出响应向量 (\langle f_i|)，需要求解输入向量 (\langle x_i|)，即求解方程 (\langle f_i| = \langle x_i|T)。

若网络是可逆的，验证问题可通过求 (T) 的逆矩阵 (T^{-1}) 来解决。但实际上，很多开关网络是不可逆的，此时 (T^{-1}) 不存在，无法直接求解。当输入维度 (N) 和输出维度 (M) 不相等时，会出现两种情况：
- (N > M)：系统过约束，存在多个解。
- (N < M)：系统欠约束。

对于 (N \neq M) 的情况，可以使用 (T) 的 Moore - Penrose 伪逆 (T^+) 来求解，其形式如下：
[
T^+ =
\begin{cases}
(T^ T)^{-1}T^ , & N > M, \text{ 过约束}\
T^ (TT^ )^{-1}, & N < M, \text{ 欠约束}
\end{cases}
]
在二进制开关网络中，(T) 的元素都是实数，所以 (T^* = T^T)（(T^T) 表示 (T) 的转置）。使用伪逆求解验证问题的形式为 (\langle x_i| = \langle f_i|T^+)。

在过约束系统中，伪逆得到的解是所有解中