26、量子信息几何与量子估计中的相对模算子和量子 f -相对熵

量子信息几何与量子估计中的相对模算子和量子 f -相对熵

1. 问题引入与基本定义

在量子信息领域，我们常常会涉及到对量子态的分析和比较。这里，我们聚焦于两个密度矩阵 $\rho = \sum_{i} a_{i} |u_{i}\rangle \langle u_{i}|$ 和 $\sigma = \sum_{j} b_{j} |v_{j}\rangle \langle v_{j}|$。为了衡量它们之间的某种相对关系，我们引入了量子 f -相对熵的概念。

1.1 量子 f -相对熵的定义

给定一个定义在 $[0, \infty)$ 上的矩阵凸函数 $f$，量子 f -相对熵 $D_{f}(\rho | \sigma)$ 定义为：
$D_{f}(\rho | \sigma) = \sum_{i, j} f(\frac{a_{i}}{b_{j}}) Q(\rho | \sigma)(i, j)$，其中 $Q(\rho | \sigma)(i, j) = b_{j} |\langle v_{j} | u_{i} \rangle|$。

当矩阵凸函数 $f$ 仅定义在 $(0, \infty)$ 上，即它在 $0$ 处发散时，量子 f -相对熵 $D_{f}(\rho | \sigma)$ 仅在 $P_{\rho} \geq P_{\sigma}$ 时可定义，这里 $P_{\rho}$ 是 $\rho$ 的像。

1.2 相关超算子的定义

为了进一步分析量子 f -相对熵，我们定义了两个超算子 $L_{\sigma}^{-1}$ 和 $R_{\rho}$，它们是矩阵空间 $M_{\sigma, r}$ 上的线性映射：