树状数组

    在做2014年蓝桥杯的题目时，第10题说是要用到树状数组，于是就查了一下。

    树状数组这个结构是在设计压缩算法时被发现的。

    树状数组的基础是一个被构造出来的式子:C[i] = A[i]+A[i-1]+....+A[i-2^k+1]；k代表i的二进制的最后连续0的个数，比如：对于1000和101000，k=3。

     节点和子节点之间是有关系的，这种关系就是 i=j+lowbit(j)；lowbit 是 j 的最低位1所代表的数字，即二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1。比如对于 1000(8的二进制) ：1000=100+lowbit(100)=110+lowbit(110)=111+lowbit(111)；

     其中， lowbit(j) = j&-j; 一个数加一个负号，根据补码，就是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制为-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了。

    （1）当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

step1:　令sum = 0，转第二步；

step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。比如，求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]

    （2）那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

对于数组求和来说树状数组简直太快了!

    实现：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,num[100001],t[200001],l,r;//n+1:数组的大小；num:原数组；t：树状数组 
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void change(int i,int p)//建立或修改；建立树状数组，t[]的第i个数加p 
{
    while(i<=n)
    {
        t[i]+=p;
        i+=lowbit(i);
    }
    return;
}

int sum(int k)//求和；用t[]求num[1]~num[k]的和 
{
    int ans=0;
    while(k>0)
    {
        ans+=t[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return ans;
}

int ask(int l,int r)//求l-r区间和 
{
    return sum(r)-sum(l-1); 
}

int main()
{
    int i;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n;i++) //n个数
    {
        cin>>num[i];
        change(i,num[i]);
    }
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>l>>r;
        cout<<ask(l,r)<<endl;
    }
    return 0;
}

参考：http://www.cnblogs.com/GeniusYang/p/5756975.html

          http://blog.youkuaiyun.com/int64ago/article/details/7429868