如何分析算法的时间复杂度！

算法时间复杂度定义

列举常见的时间复杂度以及如何计算：                          

1.常数阶：

2.线性阶：

3.对数阶：

4.平方阶：

---

        我们知道，学习数据结构和算法就是为了解决程序的“快”和“省”的问题，那么如何让代码运行得更快，让代码更省存储空间。则就要用到时间复杂度分析，复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

算法时间复杂度定义

        在进行算法分析时，语句总的执行次数T (n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作: T (n)= O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

        这样用大写 O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。一般情况下， 随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

 推导大O阶:
        1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
        2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
        3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数（即使此常数变为1）。得到的结果就是大O阶

列举常见的时间复杂度以及如何计算：                          

1.常数阶：

         

         我们可知以上代码算法的运行次数函数是f (n) =3。 根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。第二步，观察到没有最高阶项，所以此算法的时间复杂为O(1);

        

以上代码同理可得，此代码执行了10次。运行次数函数是f (n) =10保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，只需用常数1即可，所以此算法的时间复杂为O(1)。对于此类O(1)的时间复杂度，又称常数阶。

         注意:无论这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字，这是初学者常常犯的错误。

        对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是O(1)。

2.线性阶：

        线性阶相对于常数阶是比较复杂的，要确定此阶数，我们则需要确定某个特定语句或者某个特定语句集运行的次数。关键就要分析循环结构的运行情况。

可以看出以上代码共执行了 3n+3 次，它的运行次数函数是f (n) =3+3n，我们只保留最高阶项，并且除与这个项相乘的常数（即将 3n 的 3 改为 1），则时间复杂度为 O(n)。

3.对数阶：

        关于对数阶我们可以通过如下代码来进行理解：

        

        由于每执行一次 ，i 就会离 n的值更近，那么当有x个2相乘后大于n，就会退出循环。那么 由  ，得到 ，那么这个代码的时间复杂度为O()。

          

 同理，可以得到 ，所以 ,即这个代码的时间复杂度O()。

4.平方阶：

        为了引入平方阶，我们要利用到线性阶来帮助理解：

上面的例子是循环嵌套，我们已经知道内部循环执行一次是O(n)，那么外层需要执行n次，很容易得出这段代码的时间复杂度为O(n*n)  即为O().。

 

同样的道理，外层循环执行m次，内层循环为O(n)，那么时间复杂度就为O(m*n)。

可以发现，循环的时间复杂度为：循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

        那么加大难度，来看下面这个代码，它的时间复杂度是多少呢？

 通过分析，当 i = 0 时，内层循环执行了 n 次，当 i = 1 使，执行了 n - 1次，...... 当 i = n-1 时，内层循环执行了 1 次，所以总共执行次数为：

        n + (n - 1) + (n - 2) +......+ 1 =   =  

根据推导大 O 阶的方法，第一步：将常数项改为 1 ，没常数项则不考虑。第二步：只保留最高项，即保留   ，第三步：将最高项的系数改为 1 。 那么时间复杂度即为 O()。