55、利用特征函数的显式公式

利用特征函数的显式公式

在数学领域，尤其是在处理边界值问题和研究图上的算子时，M - 函数起着重要的作用。本文将深入探讨如何利用特征函数来推导M - 函数的显式公式，以及这些公式在不同情况下的应用。

1. 问题引入与基本概念

首先，我们遇到一个关于西瓜图的问题。考虑由三条长度分别为(\ell_1)，(\ell_2)，(\ell_3)的平行边连接两个顶点形成的西瓜图，需要计算其M - 函数。此时有两种情况：
- 接触集由其中一个顶点组成。
- 接触集由两个顶点组成。

同时，我们还需要为不同的(\ell_j)值绘制相应的能量曲线，包括所有长度相等的情况。

为了更好地理解和解决这些问题，我们引入两个自伴算子(L^{st})和(L^{D})，它们定义在同一图(\Gamma)上。其中，(L^{st})是标准算子，(L^{D})是狄利克雷（Dirichlet）算子。这两个算子在(L^2(\Gamma))空间中具有重要地位，它们由相同的微分表达式和内部顶点条件定义，但在接触顶点处分别采用标准条件和狄利克雷条件。为了简化表示，我们使用短记号(L^{st} := L_{q,a}^{S^{int},st}(\Gamma))和(L^{D} := L_{q,a}^{S^{int},D}(\Gamma))。

2. 标准算子的谱分解与解析核

对于标准算子(L^{st})，它是一个具有离散谱的自伴算子。我们用(\lambda_{n}^{st})和(\psi_{n}^{st})分别表示其对应的特征值和特征函数，并且假设这些特征函数构成一个正交基。

对于任意(f \in L^2(\Gamma))，我们有谱分解公