10、量子图的基本谱性质

量子图的基本谱性质

1. 引言

在量子图的研究中，我们首先要对量子图——度量图上的薛定谔算子给出严格且自洽的定义。同时，我们会根据基础有限度量图是否包含非紧边，来研究其谱性质。这里不推导谱的久期方程，而是采用一般的谱理论方法。主要工具是比较度量图上的微分算子和由相同微分表达式在独立边集合上以及所有端点的狄利克雷条件所确定的狄利克雷算子。

2. 量子图作为自伴算子的定义

2.1 参数假设

假设参数 $\Gamma$、$q$、$a$ 和 $S$ 满足以下条件：
- 图 $\Gamma$ 是一个由 $N_c$ 条紧边和 $N_i$ 条无限边组成的度量图。
- （电）势 $q$ 是 $\Gamma$ 上的实值绝对可积势，还需满足 Faddeev 条件：
- $q \in L^1(\Gamma)$
- $\int_{\Gamma} (1 + |x|) |q(x)| dx < \infty$
- 磁势 $a$ 是实值一致有界函数，在每条边上连续，即 $a \in C(\Gamma \setminus V)$。
- 顶点矩阵 $S$ 是酉的适当连接矩阵，它是 $M$ 个不可约酉 $d^m \times d^m$ 矩阵 $S^m$ 的集合，其中 $d^m$ 是顶点 $V^m$ 的度。

2.2 微分表达式与算子定义

考虑任意边 $E_n$ 和微分表达式：
$\tau_{q,a} = (i \frac{d}{dx} + a(x))^2 + q(x)$
该表达式定义在 Sobolev 空间 $W_1^2(E_n)$ 中的函数 $u$ 上，且 $\