24、单车辆路径问题的分支定界算法与信息泄露优化策略

单车辆路径问题的分支定界算法与信息泄露优化策略

单车辆路径问题（SVRPTS）的下界计算

在单车辆路径问题（SVRPTS）中，为了找到最优解，我们需要计算问题的下界。首先，对树 $\overline{T}$ 上的其他边按长度递增排序，得到序列 $(d_{\overline{T}}^1, \ldots, d_{\overline{T}}^{n - 1})$。然后，将客户需求的权重按降序排列，得到序列 $(p_1, \ldots, p_n)$，其中 $p_i \in {q_1, \ldots, q_n}$ 且 $p_i \geq p_{i + 1}$（$1 \leq i \leq n - 1$）。

SVRPTS 的一个多项式可计算下界为：
[
LB = d_{\overline{T}}^0 f(Q + Q_0) + d_{\overline{T}}^n f(Q_0) + \sum_{i = 1}^{n - 1} d_{\overline{T}}^i f\left(\sum_{j = i + 1}^{n} p_j + Q_0\right)
]

证明过程如下：
假设 $r$ 是图 $G$ 上从 $v_0$ 出发并在 $v_{n + 1}$ 结束的最优 SVRPTS 路线。对 $r$ 中除 $d_{r(0), r(1)}$ 和 $d_{r(n), r(n + 1)}$ 之外的所有边长度按升序排序，得到序列 $(d_r^1, d_r^2, \ldots, d_r^{n - 1})$。根据引理 1，有：
[
z(r) = \sum_{i = 0}^{n} d_{r(i), r(i + 1)} f(w_{r(i), r(i + 1)})