罗德里格旋转公式

最新推荐文章于 2025-05-30 15:45:09 发布

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#机器学习 #线性代数 #概率论 #游戏引擎

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问题

对于三维空间中的任意向量 $v$ 绕旋转轴 $k$ （ $k$ 为单位向量）旋转 $θ\theta$ 弧度后的结果 $v^{'}$

解

首先把向量 $v$ 分解为

与旋转轴 $k$ 垂直的向量 $v_1$
与旋转轴 $k$ 平行的向量 $v_2$

在旋转过程中，向量 $v_2$ 不发生变化

因为 $k$ 为单位向量
所以 $v2=(v⋅k)kv_2 = (v\cdot k)k$

因为 $v= v_1+v_2$
所以 $v1=v−v2=v−(v⋅k)kv_1=v- v_2 = v- (v\cdot k)k$

接下来看 $v_1$ 的旋转

定义 $\times v$ ，其中 $\alpha = |v_1|$
这样向量 $v_1$ 绕 $k$ 旋转 $θ\theta$ 弧度后的向量 $v_1^{'}$ 就可以表示成
$\begin{aligned} v_1^{'} &= cos\theta v_1+sin\theta w\\ &=cos\theta (v- (v\cdot k)k) + sin\theta (k \times v) \end{aligned}$

最终的向量为
$\begin{aligned} v' &= v_1^{'} + v_2\\ &=cos\theta (v- (v\cdot k)k) + sin\theta (k \times v) + (v\cdot k)k\\ &=cos\theta v + (1-cos\theta)(v\cdot k)k + sin\theta (k \times v) \end{aligned}$

令
$\begin{pmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z \end{pmatrix}, k = \begin{pmatrix} k_x\\ k_y\\ k_z \end{pmatrix}$

根据差乘的定义
$\begin{aligned} k\times v&= (k_y v_z -k_z v_y ,k_z v_x -k_x v_z,k_x v_y -k_y v_z)\\ &= \begin{pmatrix} &0,&-k_z,&k_y\\ &k_z,&0,&-k_x\\ &-k_y,&k_x,&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z \end{pmatrix} \end{aligned}$

所以
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} v'_x\\ v'_y\\ v'_z\\ \end{pmatrix} &=cos\theta \begin{pmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z\\ \end{pmatrix} + sin\theta \begin{pmatrix} &0,&-k_z,&k_y\\ &k_z,&0,&-k_x\\ &-k_y,&k_x,&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z\\ \end{pmatrix} + (1-cos\theta)(v_xk_x+v_yk_y+v_zk_z) \begin{pmatrix} k_x\\ k_y\\ k_z\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$

其中
$\begin{aligned} & (1-cos\theta)(v_xk_x+v_yk_y+v_zk_z) \begin{pmatrix} k_x\\ k_y\\ k_z\\ \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} (1-cos\theta)(v_xk_xk_x+v_yk_xk_y+v_zk_xk_z)\\ (1-cos\theta)(v_xk_xk_y+v_yk_yk_y+v_zk_yk_z)\\ (1-cos\theta)(v_xk_xk_z+v_yk_yk_z+v_zk_zk_z)\\ \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} ak_xk_x,&ak_xk_y,&ak_xk_z\\ ak_xk_y,&ak_yk_y,&ak_yk_z\\ ak_xk_z,&ak_yk_z,&ak_zk_z\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z\\ \end{pmatrix},a = 1-cos\theta \end{aligned}$

所以
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} v'_x\\ v'_y\\ v'_z\\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} &cos\theta + ak_xk_x,&-sin\theta k_z+ak_xk_y,&sin\theta k_y+ak_xk_z\\ &sin\theta k_z + ak_xk_y,&cos\theta + ak_yk_y,&-sin\theta k_x+ak_yk_z \\ &-sin\theta k_y+ ak_xk_z,&sin\theta k_x+ak_yk_z ,&cos\theta+ak_zk_z \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z\\ 1 \end{pmatrix}= M \begin{pmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z\\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

最终，我们得到变换矩阵为
$\begin{aligned} M &= \begin{pmatrix} &cos\theta + ak_xk_x,&-sin\theta k_z+ak_xk_y,&sin\theta k_y+ak_xk_z\\ &sin\theta k_z + ak_xk_y,&cos\theta + ak_yk_y,&-sin\theta k_x+ak_yk_z \\ &-sin\theta k_y+ ak_xk_z,&sin\theta k_x+ak_yk_z ,&cos\theta+ak_zk_z \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$