49、卡尔曼滤波器及其扩展方法详解

卡尔曼滤波器及其扩展方法详解

1. 卡尔曼滤波器基础

卡尔曼滤波器在处理时间序列数据时是一个强大的工具。首先，我们从协方差项开始分析。通过矩阵求逆引理，对相关公式进行推导可得：
((Φ^T Σ_mΦ + Σ_+^{-1})^{-1} = Σ_+ - Σ_+Φ^T (ΦΣ_+Φ^T + Σ_m)^{-1}ΦΣ_+)
(= Σ_+ - KΦΣ_+)
(= (I - KΦ)Σ_+)
这里的结果有清晰的解释：后验协方差等于先验协方差减去一个依赖于卡尔曼增益的项。在纳入测量信息后，我们对状态的确定性总是增加的，而卡尔曼增益决定了这种确定性增加的程度。当测量更可靠时，卡尔曼增益高，协方差减小得更多。

经过这些操作，我们可以将相关公式重写为：
(Pr(w_t|x_{1…t}) = Norm_{w_t} [µ_+ + K(x_t - µ_m - Φµ_+), (I - KΦ)Σ_+])

卡尔曼滤波器的推理过程总结如下：
- 状态预测 ：(\mu_+ = \mu_p + \psi\mu_{t - 1})
- 协方差预测 ：(\Sigma_+ = \Sigma_p + \psi\Sigma_{t - 1}\psi^T)
- 状态更新 ：(\mu_t = \mu_+ + K(x_t - \mu_m - \Phi\mu_+))
- 协方差更新 ：(\Sigma_t = (I - K\Phi)\Sigma_+)
其中，(K = \Σ_+Φ^T (\Σ_m +