9、复杂数据密度建模与期望最大化算法解析

复杂数据密度建模与期望最大化算法解析

在数据建模领域，处理复杂数据的密度分布是一项关键任务。本文将深入探讨几种重要的模型，包括多元 t 分布、因子分析，以及它们的组合模型，同时详细解析期望最大化（EM）算法的工作原理。

1. 多元 t 分布

多元 t 分布在处理包含异常值的数据时表现出色。为了优化多元 t 分布的均值 $\mu$ 和协方差矩阵 $\Sigma$，我们对相关方程求导，令导数为零并整理得到更新方程：
$$
\mu^{[t + 1]} = \frac{\sum_{i = 1}^{I} E[h_i]x_i}{\sum_{i = 1}^{I} E[h_i]}
$$
$$
\Sigma^{[t + 1]} = \frac{\sum_{i = 1}^{I} E h_i (x_i - \mu^{[t + 1]})^T}{\sum_{i = 1}^{I} E[h_i]}
$$

这些更新方程具有直观的形式，对于均值，我们计算数据的加权和。数据集中的异常值往往由无限混合中具有较大协方差的正态分布来最好地解释，对于这些分布，$h$ 值较小（$h$ 与正态协方差成反比），因此 $E[h]$ 较小，在求和中权重较低。$\Sigma$ 的更新也有类似的解释。

然而，自由度 $\nu$ 没有封闭形式的解。我们可以通过一维线搜索来最大化相关方程，或者使用其他优化技术。当我们将具有对角尺度矩阵 $\Sigma$ 的 t 分布拟合到面部数据集时，均值 $\mu$ 和尺度矩阵 $\Sigma$ 在视觉