44、布尔算术方程：获取与应用

布尔算术方程：获取与应用

1. 布尔算术表达式的重要性与应用场景

在寻找精确边界时，布尔算术表达式（Boolean - Arithmetic Expressions，BAE）有着广泛的应用。其重要性体现在以下几个方面：
1. 值域为{0, 1}或两个连续值的情况 ：当函数 (f(X_1, X_2, \ldots, X_n)) 的值域为 ({0, 1}) 或者仅由两个连续值 (v) 和 (v + 1) 组成时，使用 BAE 是自然的选择。例如，对于有向图，设 (v) 为顶点数，(a) 为弧数，(os) 为最小强连通分量的数量，(s) 为最小强连通分量的大小。当 (a) 取最大值时，原本的关系 (os = \lfloor\frac{v}{\max(-s + v, s)}\rfloor) 可被 (os = 1 + [v = 2 \cdot s]) 所包含，这里布尔表达式 ([v = 2 \cdot s]) 作为整数使用，为真时为 1，为假时为 0。
2. 值域值数量较少但大于 2 的情况 ：即使函数 (f(X_1, X_2, \ldots, X_n)) 的值域中不同值的数量 (m) 大于 2 但仍然很小时，我们可以通过对 (m - 1) 个布尔算术条件求和来使用 BAE 捕获简洁的公式。例如，对于有向图，设 (v) 为顶点数，(a) 为弧数，(c_1) 为具有多个顶点的连通分量的数量，(c) 为最小连通分量的大小。当 (a) 取最大值时，原本的关系 (c_1 = \lfloor\frac{(v + \max(-c + v, c))}{(2 \cdot \max(\max(-c + v, c), 2) - \max(-c + v,