10、混合整数半定规划中的对称性处理

混合整数半定规划中的对称性处理

一、混合整数半定规划问题概述

混合整数半定规划（MISDP）问题是一类重要的优化问题，它具有广泛的应用，如鲁棒桁架拓扑优化（使用离散杆直径）和基数最小二乘等。解决这类问题的一种方法是基于半定规划（SDP）的分支定界法，这是一种特殊的非线性分支定界法。在这种方法中，对整数变量进行分支会创建一个搜索树，并且在每个节点上求解一个半定规划问题，该问题源于对该节点整数性要求的松弛。

MISDP问题相当通用，其中混合整数线性规划（MIP）是其特殊情况，此时仅使用矩阵 $A_k$（$k \in [m]_0$）的对角元素。然而，求解MIP问题时面临的挑战在求解MISDP问题时同样存在，其中一个重要挑战就是对称性的存在。

二、对称性的定义与影响

设 $X = {y \in R^m : A(y) \succeq 0, \ell \leq y \leq u, y_i \in Z \quad \forall i \in I}$ 为MISDP问题的可行域。一个对称性是一个双射 $\pi: R^m \to R^m$，使得 $X = \pi(X) := {\pi(x) : x \in X}$ 且对于每个 $x \in X$ 都有 $b^T\pi(x) = b^Tx$。也就是说，$\pi$ 将MISDP问题的可行解映射到具有相同目标值的可行解，这些对称性构成了所谓的对称群。

对称性的存在会导致搜索树不必要地增大，因为许多对称解虽然不包含新信息，但仍需要被处理。这种影响在MIP问题中是众所周知的，并且已经开发了许多不同的技术来处理MIP中的对称性。但到目前为止，混合整数半定规划中的对称性处理尚未得到充分研究。对于没有整数变量的SDP问题，