21、分数阶差分方程与肺部热传递模型研究

分数阶差分方程与肺部热传递模型研究

分数阶差分方程稳定性分析

在分数阶差分方程领域，我们先从一些基础概念入手。

1. 预备知识

• 前向h - 差分算子 ：设 (h > 0)，((hN)_0 = {0, h, 2h, …})，对于任意函数 (x : (hN)_0 \to R)，前向 (h) - 差分算子定义为 ((\Delta_hx)(t) := \frac{x(t + h) - x(t)}{h})，其中 (t \in (hN)_0)。
• 二项式函数族 ：引入一族关于 (Z) 的二项式函数，参数为 (q > 0)，当 (q > 0) 时，(a^{(-q)}_j = \binom{j + q - 1}{j} = (-1)^j\binom{-q}{j})；当 (q < 0) 时，(a^{(-q)}_j = 0)，且 (a^{(-q)}_0 = 1)。
• 分数阶 (h) - 和 ：对于函数 (x : (hN) 0 \to R)，分数阶 (h) - 和的阶数 (q > 0) 定义为 ((\Delta^{-q}_h x)(t) := h^q(a^{(-q)} * \bar{x})(j))，其中 (t = jh)，(\bar{x}(s) := x(sh))，(s \in N)，“(*)” 表示卷积，即 ((a^{(-q)} * \bar{x})(j) := \sum {s = 0}^{j} \binom{j - s + q - 1}{j - s} \bar{x}(s))。