12、基于Wendland函数的插值高级算法及应用

基于Wendland函数的插值高级算法及应用

1. 引言

在处理动力系统时，Lyapunov函数的计算至关重要。而Wendland函数作为一种紧支撑的径向基函数，在无网格配点法中发挥着重要作用，可用于计算确定性和随机动力系统的Lyapunov函数。本文将详细介绍基于Wendland函数的插值算法、无网格配点法的应用、最优网格生成以及软件工具的使用。

2. Wendland函数的计算

2.1 多项式与Wendland函数的关系

在计算Wendland函数时，多项式 ˆpl,k−i(r) 的系数为互质整数，常数 bi 为负整数。对于给定的 l 和 k，通过一系列计算可以得到Wendland函数的家族。

2.2 示例计算

以 l = 6 和 k = 4 为例，从函数 p′(t) = (1 −t)6t(t2 −r2)3 开始计算：
[
\begin{align }
\psi(r) &= \int_{r}^{1} (1 - t)^6t(t^2 - r^2)^3dt \
&= \frac{1}{280}r^{14} - \frac{32}{1001}r^{13} + \frac{1}{8}r^{12} - \frac{64}{231}r^{11} + \frac{3}{8}r^{10} - \frac{32}{105}r^{9} + \frac{1}{8}r^{8} - \frac{1}{56}r^{6} + \frac{1}{280}r^{4} - \frac{1}{1848}r^{2} + \frac{1}{24024} \
&= \