5、带跟踪的LQR问题的局部观测器设计

带跟踪的LQR问题的局部观测器设计

1 引言

在控制领域，为了比较不同控制方法的性能，我们将所提出的程序应用于一个案例研究，即对导致HIV/AIDS感染的病毒传播进行控制。我们采用特定模型，并在最优控制理论框架下引入二次成本指标来构建控制问题。

2 问题定义

2.1 非线性动力学系统

给定非线性动力学系统：
(\dot{x} = f(x) + g(x)u)
(y = h(x))
其中 (x \in \mathbb{R}^n)，(u \in \mathbb{R}^m)，(y \in \mathbb{R}^p)，且存在一个平衡点 (x_e) 满足 (f(x_e) = 0)，(g(x_e) \neq 0)，(h(x_e) = 0)。我们引入成本函数：
(J = \int_{0}^{\infty} [x^T Qx + u^T Ru] dt)
目标是最小化该成本函数。

2.2 线性近似

由于系统的非线性，我们可以在平衡点附近进行线性化。线性近似后的系统为：
(\dot{\tilde{x}} = A\tilde{x} + Bu)
(\tilde{y} = C\tilde{x})
其中 (\tilde{x} = x - x_e)，且
(A = \frac{\partial f}{\partial x}\big| {x = x_e})，
(B = g(x_e))，
(C = \frac{\partial h}{\partial x}\big| {x = x_e})

2.3