向量矩阵求导公式

最新推荐文章于 2021-01-25 13:19:53 发布
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aysk1112
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复数 标量/向量/矩阵 求导
Lyn_S的博客
12-02 9303
Wirtinger derivative: 令 z=x+jyz=x+jyz=x+jy，则 f(z)f(z)f(z) 对 zzz 和 zzz 的共轭 z∗z^*z∗ 求导结果为 ∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y)\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y} \right)∂z∂​=21​(∂x∂​−i∂y∂​) ∂∂z∗=12(∂∂x+i∂∂y)\frac
常用矩阵求导公式
weixin_43968895的博客
03-15 2200
常用矩阵求导公式 在学习张量分解（TUCKER or CP）分解的时候，我们经常会遇到各式各样的优化模型，其中最简单的就是对代价函数（cost function）进行求导然后通过梯度下降法（gradient decent method），共轭梯度法（conjugate gradient method），投影梯度法（projected gradient method），罚函数法（penalty fu...
矩阵、向量求导法则
09-12
该文档总结了矩阵对矩阵、矩阵对向量、向量对矩阵、向量对向量、元素对矩阵、元素对向量的求导法则，非常有用！
常用的向量矩阵求导公式
dong的博客
02-29 278
数理推导中常用的向量矩阵求导公式 1、 2、 3、 4、 5、
矩阵求导公式
Justpayne的专栏
01-20 5231
基本公式： Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B' Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A' 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] -->
常用矩阵向量求导公式
Bear_Kai的专栏
06-16 2360
在机器学习中，常用的一般是求一个数对向量或矩阵的导数，这个数，一般表现为向量的内积，或者是矩阵的迹。α,x\alpha, \mathbf{x}是向量，A,B,CA, B, C是矩阵，假定以下向量矩阵都是合适大小、可乘的。∂xTα∂x=∂αTx∂x=α(1)\frac{ \partial{ \mathbf{x}^T \alpha} }{\partial \mathbf{x}} = \frac{ \pa
向量矩阵求导合集.pdf
06-06
矩阵求导涉及的操作包括对矩阵或向量进行微分，或者对单个变量函数进行向量化后的微分。 本合集的讲义是B站关于矩阵求导的系列课程，涵盖了矩阵求导的基础知识和详细讲解。具体而言，矩阵求导的合集被分为三个部分...
矩阵向量微分求导.zip
07-15
包含了矩阵对矩阵求导，矩阵对向量求导，向量的微分，向量的导数等，多种矩阵、向量的微积分公式和讲解。内容包括： Vector/Matrix Derivatives and Integrals; Vector differentiation; Matrix differentiation; ...
机器学习中会用到的矩阵、向量求导公式
YiqiangXu的博客
06-09 1037
矩阵与向量的求导常用公式
03-26 844
设矩阵A，向量x⃗\vec{x}x则有 ∂Ax⃗∂x⃗=AT∂Ax⃗∂x⃗T=A∂(x⃗TA)∂x⃗=A∂(x⃗TAx⃗)∂x⃗=(AT+A)x⃗\frac{\partial A\vec{x}}{\partial \vec{x}} = A ^ {T} \\ \frac{\partial A\vec{x}}{\partial \vec{x} ^ {T}} = A \\ \frac{\partia...
矩阵求导
何瑞龙的专栏
10-10 592
基本公式： Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B' Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A' 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/
向量、矩阵求导的重要公式
weixin_42764932的博客
01-25 2083
书接上文标量、向量与矩阵的求导https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42764932/article/details/113107265 几个公式要牢记，机器学习算法推导用的上 向量、矩阵求导的重要公式1. ∂Ax→∂x→=AT\frac{\partial A \overrightarrow{x}}{\partial \overrightarrow{x}}=A^{T}∂x∂Ax​=AT2. ∂Ax→∂x→T=A\frac{\partial A \overrightarrow{x}
数学：关于对向量、矩阵求导常见公式
qq_35896136的博客
04-13 4151
对向量、矩阵求导，和对标量求导还是有点区别，特别是转置和不转置，在网上参考了其他资料整理一下。 介绍： 在矩阵求导中，分为两种布局：分别是分子布局（Numerator Layout）和分母布局（Denominator Layout）。 考虑x,yx,yx,y分别是n,mn,mn,m 维列向量, AAA是 m×nm×nm×n 矩阵,zzz是标量. Numerator Layout 想象分子不变,...
【机器学习总结】向量、矩阵求导公式
Mankind的博客
02-27 2456
关于向量求导用到的公式实在是太多了…经常公式推着推着就被卡住，这里一次性做个总结吧。 文章目录0.引言1.向量对元素求导2.向量对向量求导3.矩阵对向量求导4.矩阵复合向量的求导 0.引言   正文中，元素使用字母a，b，c等表示，向量使用小写的x，y，zx，y，zx，y，z等表示，并且默认是列向量，矩阵使用大写的A,B,C进行表示。 1.向量对元素求导 行向量对元素求导 ∂xT∂a=[∂x...
数、向量、矩阵的导数法则及矩阵基本知识
weixin_43178406的博客
04-04 1772
1. 数的导数 1.1 导数运算法则 1.2 复合函数求导 1.3 反函数求导 1.4 隐函数求导 1.5 基本初等函数导数及总结 2. 矩阵基本知识 2.1 矩阵的字母表示 2.2 广义逆 2.2.1 减号逆A^{-}A − 2.2.2 加号逆A^{+}A + （伪逆） 2.3 幂等矩阵 2.4 kronecker（克罗内克）乘积与向量化运算 2.4.1 kronecker定义 2.4.2 kronecker性质 2.4.3 向量化运算 2.5 矩阵的微商 2.5.1 标量y对标量x求导 ...
向量 矩阵求导
最新发布
03-22
<think>嗯，用户想了解向量对矩阵求导的方法、公式以及相关的机器学习数学基础。首先，我需要回忆一下矩阵求导的基本概念。根据引用中的内容，实向量函数对向量求导的方法是通过将矩阵堆栈化成向量来处理，然后再考虑布局的问题。用户提到的引用[1]和[3]都提到了这一点，所以可能需要先从布局开始解释。 接下来，用户可能需要具体的步骤或例子来理解这个过程。比如，向量对矩阵求导，可能需要将矩阵展开成向量，然后逐个元素求导，再组合成矩阵形式。这里需要区分分子布局和分母布局，因为不同的布局会影响结果的排列方式。引用[2]中提到，向量对标量的求导是每个分量分别求导，同样的逻辑可能适用于向量对矩阵的情况，但需要扩展成矩阵形式。 然后，用户可能关心具体的应用场景，比如在机器学习中的使用。比如，神经网络中的梯度下降可能会涉及到矩阵求导，尤其是在参数更新时。这时候需要举一个实际的例子，比如线性回归中的权重矩阵求导，这样用户能更好地理解理论如何应用到实际问题中。 另外，用户的问题中还提到了机器学习数学基础，所以可能需要解释为什么矩阵求导在这些领域中很重要。例如，优化算法、损失函数的梯度计算等都需要用到这些知识。引用[3]中提到的三种函数类型可能也需要简要说明，帮助用户区分不同情况下的求导方法。 在组织回答时，应该按照逻辑顺序，先介绍基本概念，再讲方法步骤，然后举例说明，最后讨论应用场景。这样用户能够逐步理解和掌握。同时，要确保使用正确的中文表达，避免术语混淆，并检查LaTeX格式是否符合要求，比如行内公式用$...$，独立公式用$$...$$，并且正确引用参考文献。 可能还需要注意用户是否有更深入的需求，比如是否需要了解更复杂的求导规则，或者具体的算法实现中的矩阵求导问题。但根据当前问题，重点应放在向量对矩阵求导的方法和公式上，结合机器学习的应用来展开。确保回答结构清晰，步骤明确，并给出相关的例子帮助理解。</think>### 向量对矩阵求导方法与公式详解 #### 一、基本概念与布局约定 在矩阵求导中，**布局约定（Layout Convention）** 是核心基础。根据引用[2]，向量对标量求导时，结果按原向量维度排列。对于向量对矩阵求导，需将矩阵“堆栈化”为向量处理，再选择**分子布局（Numerator Layout）** 或**分母布局（Denominator Layout）**： - **分子布局**：结果的维度与分子（函数）的维度一致； - **分母布局**：结果的维度与分母（自变量）的维度一致。 例如，向量函数 $\mathbf{f} \in \mathbb{R}^m$ 对矩阵 $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times p}$ 求导，结果是一个 $\mathbb{R}^{m \times (n \times p)}$ 或 $\mathbb{R}^{(n \times p) \times m}$ 的张量。为简化计算，常将矩阵按列优先展开为向量 $\text{vec}(\mathbf{X})$，再按向量求导规则处理[^1][^3]。 --- #### 二、具体方法与公式推导 **步骤1：定义问题** 假设实向量函数 $\mathbf{f}(\mathbf{X}) \in \mathbb{R}^m$，自变量为矩阵 $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times p}$，求导数 $\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{X}}$。 **步骤2：堆栈化处理** 将矩阵 $\mathbf{X}$ 展开为列向量 $\mathbf{x} = \text{vec}(\mathbf{X}) \in \mathbb{R}^{np}$，则 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 对 $\mathbf{x}$ 的导数为雅可比矩阵： $$ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_{np}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_{np}} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times np} $$ **步骤3：还原为矩阵形式** 根据布局约定，将雅可比矩阵重塑为更高维张量。例如，若使用分子布局，结果为 $\mathbb{R}^{m \times n \times p}$ 的三阶张量。实际应用中，常直接使用向量化后的结果[^2]。 --- #### 三、机器学习中的实例 **案例：线性回归的参数梯度** 设损失函数为 $\mathcal{L}(\mathbf{W}) = \frac{1}{2} \|\mathbf{y} - \mathbf{W}\mathbf{X}\|^2$，其中 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 为权重矩阵。求 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{W}}$： 1. **向量化**：$\text{vec}(\mathbf{W}) = \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{mn}$； 2. **求雅可比矩阵**：$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}} = (\mathbf{W}\mathbf{X} - \mathbf{y}) \mathbf{X}^T$； 3. **还原为矩阵**：$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{W}} = (\mathbf{W}\mathbf{X} - \mathbf{y}) \mathbf{X}^T$（分母布局）。 --- #### 四、核心公式总结 | 函数类型 | 自变量类型 | 导数维度（分子布局） | 典型应用场景 | |-------------------|--------------|---------------------------|-------------------------| | 标量 $f$ | 矩阵 $\mathbf{X}$ | 与 $\mathbf{X}$ 同维 | 正则化项梯度计算 | | 向量 $\mathbf{f}$ | 矩阵 $\mathbf{X}$ | $m \times n \times p$ 张量 | 神经网络参数更新 | | 矩阵 $\mathbf{F}$ | 矩阵 $\mathbf{X}$ | 四阶张量 | 高阶优化问题 | ---
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